有限群与变换半群

发布时间：2020-05-26 20:39

【摘要】：变换半群与置换群的性质间的关系和应用变换半群解决同步自动机的问题是一个有重要理论意义和实际应用的重要课题.本文在前人基础上对这一课题进行了深入研究,得到了一些结果,发展和改进了前人的一些工作.主要成果有:建立了完全正则半群和同步半群之间的联系,得到了一些刻画;研究了置换群的本原性及其在同步半群中的应用,得到了一些判别条件;研究了非本原群和同步半群的关系,刻画了一些特殊情形;研究了几乎同步群,并解决了两个公开问题.本文共分五章.第一章是引言,主要介绍所研究的问题、研究现状、我们的工作概况及本文的结构.第二章主要研究完全正则半群的结构及其与同步半群的联系.设Tn和Sn分别是集合Xn={1,2,...,n}上的全变换半群和对称群.设G是Sn的子群,α ∈Tn\Sn,我们用G,α表示由G与α生成的半群.设S是Tn的子半群.若半群S的每一个元素都属于一个子群,则称S是完全正则半群.如果半群S包含一个常量映射,那么称S是同步半群;反之则称为非同步半群.若半群G,α(α∈Tn\Sn)包含常量映射,则称群G同步于变换α;若G是同步于所有的α ∈Tn\Sn,则称G是同步群;反之则称为非同步群.变换α的秩定义为α像集的元素个数,记为rank(α).设H是Green H-关系.我们得到:(1)如果(α,e)∈H,那么G,α是完全正则半群当且仅当对所有的g ∈ G有rank(αgα)= rank(α);(2)若G是传递群,则G,α是完全正则半群当且仅当G是传递非本原群或非同步本原群;(3)若α不是常量映射且G,α是完全正则半群,则G,α是非同步半群;(4)对于一些不同类型的传递群G,我们给出了G,α是完全正则半群的条件;(5)我们使用GAP,部分分类了指数为2的非同步本原群.第三章主要研究传递群与一个置换生成的群.我们给出了,对于传递非本原群G,G,a(α∈Sn\G)是本原群的条件;并且举了大量G,a是(非)本原群的例子.同时,我们得到了G,a是本原群与G,α是同步半群的等价条件,其中∈Sn\G,α∈Tn\Sn.第四章主要研究不同类型生成集A(A(?)Tn\Sn或A ={G,α})所生成的半群是否是同步半群,并且考察了G是传递非本原群的情形.我们给出了,对于传递非本原群G,G,α是(非)同步半群的条件;证明了传递非本原群G同步于秩为n-1的变换,核类型为(k,1,…,1)的变换和秩n-2的变换.最后,我们给出了大量G,α是(非)同步半群的例子.第五章主要研究几乎同步群.设G≤Sn是本原群.如果变换α核的所有块的基数都是相等的,那么称α是一致的;反之则称为非一致的.若群G同步于所有非一致变换,则称G是几乎同步群.令T(?)且1|T|n.定义图ΓT:点集合V=Xn,边集合E = {(x,y):(?)g ∈G,{x,y}g(?)T}.图ΓT的补图记为ΓT.图ΓT中相连的两个点用～表示;ΓT中点x的闭邻域记为ΓT[x]={x}∪{y|x～y}.设P是G-正则划分ρ的块(见文献[41])和T是G-正则横截,定义m(T,P)=min{|A|:A(?)P,∩x∈AΓT[x]=P};定义m(G)是m(T,P)中的最大者,其中对于所有的元素对(T,P).设ρ和σ-是两个互异的G-正则划分且它们的秩都是k,定义M(ρ,σ)= |ρ∩σ|/k.进而,对所有这些划分定义M(G)是M(ρ,σ)的最大者.我们解决了Araujo等人在文献[39]中提出的六个问题中的前两个问题,即是,问题1.m(G)= 2是否蕴含着M(G)≤1/2?问题2.证明定理7(见文献[39])是否不需要任何关于M(G)的假设?
【学位授予单位】：苏州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O152.7

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