几类动力系统定性问题研究和模型分析

发布时间：2020-05-27 05:25

【摘要】：1900年在第二次数学家大会上,Hilbert提出了23个数学问题,其中第16个问题的后半部分是关于讨论多项式微分系统的极限环个数。它成为了近代动力系统研究的核心问题之一。在众多数学家的共同努力之下,动力系统定性理论已经发展成为较为成熟的理论体系,并在机械、电讯、化学、生物、经济以及其他科学领域里的应用不断扩大和深入。本博士论文主要研究了动力系统定性理论、可积性理论和几何奇异摄动理论及应用。着重考虑了中心焦点问题、代数可积性问题和生物模型的动力学分析。具体来说,本文首先讨论了任意n次拟齐次多项式系统的中心分类,得到了含有中心的拟齐次系统的简便算法。其次,本文考虑了描述神经元动作电位周期性震荡的经典模型-FitzHugh-Nagumo模型,讨论了该模型的代数可积性,进而刻画了该三维系统的全局动力动力学性态。最后,针对描述离子通道中粒子运动的Poisson-Nernst-Planck(PNP)模型,运用几何奇异摄动理论和定性理论,揭示了在离子通道中影响粒子运动的因素,解释了实际实验中观察到的现象和粒子运动特性的产生机制。本论文的具体内容分为三个部分。第一部分主要研究了平面拟齐次多项式系统的中心焦点问题。2009年,Llibre等人[86]从系统的权重次数分类,讨论了权重次数为1,2,3,4的拟齐次多项式的中心分类;2013年,[56]中则通过对拟齐次系统性质的分析,得到了计算任意n次拟齐次系统的算法,并利用该算法得到了所有的二次、三次拟齐次系统;后来,[13]、[76]、[123]的工作中,根据[56]中的算法,得到了所有的三次、四次和五次拟齐次系统,并分析这些系统进行了中心分类和拓扑结构,由这些工作可知,二次、四次拟齐次系统不存在中心,只有一类三次拟齐次系统含有中心,两类五次拟齐次系统含有中心。在本文第二章的工作中,我们更进一步的考虑了具有更高次数的拟齐次系统的中心条件,即讨论了更一般的情况,对于任意次数n的拟齐次系统的中心条件。首先,在该部分证明了任意偶数次拟齐次系统不存在中心,该结论包含了之前工作中关于二次、四次拟齐次系统不含有中心的结论。其次,对于奇数次拟齐次系统,得到了两个方面的结论。一方面,得到了含有中心的拟齐次系统的具体形式及系统的中心条件,进而将拟齐次系统的中心问题转化为对应齐次系统的中心问题。该结论则简化了分析拟齐次系统中心条件的方法,提供了一种新的思路。就三次、五次拟齐次系统而言,由该部分结果可知,其中心条件可以简单的转化为线性系统的中心问题,避免了使用[13,123]中分析中心条件时所用到的复杂工具。另一方面,提供了一种由系统次数n计算含有中心系统的简便算法,并以七次拟齐次系统为例,展示该算法的可行性和简便性。第二部分则主要研究了三维FitzHugh-Nagumo系统的代数可积性及全局拓扑结构。早在1878年,Darboux在[35,36]中提出了分析系统代数可积性的新思路,建立了达布可积性理论,并在之后Bruns[20],Poincare[111,112]等数学家的基础性工作中,将多项式系统的代数可积性转化为完整刻画达布多项式的问题。Poincare在其工作中也指出,没有一种有效的方法计算给定多项式系统的达布多项式。在解决经典Lorenz系统的代数可积性问题时,Llibre和Zhang[96]中提出了一种求解给定多项式系统达布多项式的方法——特征曲线法。对于三维FitzHugh-Nagumo系统,在本文第三章中对该系统的达布多项式进行了完整刻画。然而,之前该问题一直未得到解决的困难在于方法。特征曲线法对三维FitzHugh-Nagumo系统并不适用。为了克服这一难点,我们引入了FitzHugh-Nagumo系统的一个辅助系统,这是一种求解达布多项式的新思路,推广了[96]中特征曲线法的应用,运用特征曲线法对辅助系统的不变代数曲面进行完整刻画,根据辅助系统和原系统之间的关系,进而得到:FitzHugh-Nagumo系统的所有达布多项式。在得到FitzHugh-Nagumo系统达布多项式(即不变代数曲面)结果的基础之上,在第四章研究了带有不变代数曲面的全局拓扑结构。到目前为止,并没有完备的理论来研究三维系统的全局拓扑结构。三维系统的全局拓扑结构问题本身就是一个难题。以前刻画带有不变代数曲面的三维系统的全局拓扑结构的工作中,往往是考虑将三维系统限制在不变曲面上,进而将问题转化为研究二维系统的拓扑结构。而在该部分的工作中,我们利用定性理论中的blow-up技术和三维Poincare紧化,刻画了满足一定参数条件的三维FitzHugh-Nagumo系统在Poincare球内的全局拓扑结构。在该部分工作中,当将系统限制在一些不变代数曲面上时,系统是不解析的。为了分析不解析系统的动力学性态,我们综合考虑了系统在不变代数曲面上的拓扑结构、原三维系统的奇点性质以及不变代数曲面的拓扑结构,从而得到了带有该不变代数曲面的系统的拓扑结构。从得到的拓扑相图中,可知在不变代数曲面上,FitzHugh-Nagumo系统存在唯一的异宿轨,即回归到原来的偏微分系统中,该系统存在有界的波前解。生物体内神经兴奋的传导、心脏搏动以及激素分泌等生命活动均与体内带电粒子的运动息息相关。在生物体内为粒子运动提供场所的是位于细胞膜表面的离子通道。Poisson-Nernst-Planck(PNP)模型是描述离子通道中粒子运动的典型模型。最后一部分,我们考虑带有边值条件的一维稳态PNP模型其中系统中的变量为电势φ,k种电荷的浓度Ckk,以及k种电荷的流量Jk,x=0,1表示通道的两端。对应的边值条件为φ(0)=V,ck(0)=Lk;φ(1)=0,ck(1)=Rk.相比于其他模型,该模型更加全面的将永久电荷Q和边值条件对粒子运动的影响考虑在内,其中永久电荷是通道中带电的蛋白结构,其对粒子运动起着关键作用。在实际实验中,直接测量的数据是电流,电流的变化则体现了通道中粒子运动的变化,由于电流I和变量流量Jk满足关系:I=(?)zsJs(V).因此,在该问题的讨论中,工作的重点则是通过讨论引起流量Jk变化的因素来解释实验现象。2007年,Eisenberg和Liu在[42]中利用几何奇异摄动理论,得到了该边值问题的解。以该工作为基础,在离子通道问题上有了丰富的结果,如[68]中则讨论了充分小的永久电荷对粒子运动的影响。由于相对边值条件中粒子的浓度,永久电荷的浓度比较大。因此,在该部分我们考虑了充分大的永久电荷对粒子运动的影响。与[68]工作相比,该问题假设更贴近通道中的实际情况。因此,我们的结果中揭示了一些实际离子通道所具有的性质,这些在之前的工作中是没有体现的。首先在本文第五章我们得到了当永久电荷充分大时方程的解,并通过对解进行定性分析,得到了通道中电流的保守性,以及边值条件对粒子运动的影响。其中电流的保守性是在研究PNP模型中首次得到的性质。最后,在本文第六章,我们解释了离子通道所固有的一个性质——衰减性质。该性质是一种在实际实验中观察到的、反常识的性质。到目前为止,还没有任何工作在理论上对该性质产生的机制进行解释。而我们的结果不仅蕴含着该性质,并且利用定性分析和数值计算相结合,首次对该现象产生的机制做出了分析。虽然在该部分的讨论中我们考虑的模型是简化后的模型,但是由简单模型体现的性质才是物质所具有的本质性质。该部分的结果具有一定的实际应用意义。
【图文】：

相图,无穷远,球面,相图

定理４．１．１邋ＦｉｔｅＨｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系统（４．１）在无穷远处的动力学性质与系统参数ａ，逡逑Ｇ＿ＩＲ无关。系统（４．１）无穷远处的动力学性质如图４．１，即在Ｐｏｉｎｃａｉｉ球面上，平逡逑面上的大圆充满了奇点，＾轴端点处的无穷远奇点是星型结点。逡逑图４．１：系统（４．１）在ＰｏｉｎｃａｒＳ球面上无穷远处的相图逡逑５０逡逑

不变代数,全局相图,曲面,鞍点

b\0逡逑（ａ）邋ｄ邋＜邋０，邋ｃ邋＜邋０逦（ｂ）邋ｄ邋＞邋０，邋ｃ邋＜邋０逡逑图４．３：具有不变代数曲面％的系统（４．１）的全局相图。其中在（ａ）中，％两支的无穷远逡逑处分别与球面上ｅ邋＝邋０＿平面上大圆的上、下四分之一半圆相交；在（６）＿中．．，％两支的无逡逑穷远处均与球面上：ｒ邋＝邋０平面上大圆相交。在情况（ａ）中，，系统（４．１）在％上半支上的动逡逑力学性质为：在妁上有两个有限奇点，原点是结点或焦点，另一个是鞍点。鞍点的两逡逑条稳定分界线均连接着鞍点和相同的无穷远奇点，当ｔ－ｒｏｏ时，鞍点的一条不稳定分逡逑界线趋向于原点，另一条趋向于另一个无穷远奇点。在情况（６）中，系统（４．１）在％右半逡逑支上的动力学性质为：有限奇点与情况（ｃ0相同，鞍点的两条稳定分界线均连接着鞍点逡逑和ｒ轴负半轴上的无穷远奇点，当丨时，一条不稳定分界线运动到原点，另一条逡逑则运动到２轴正半轴上的无穷远奇点。在情况：（《）
【学位授予单位】：上海交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O19

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