关于黎曼流形中调和形式的消失定理

发布时间：2020-05-27 05:00

【摘要】：本文主要研究了黎曼流形中的非平凡调和l-形式的存在性定理,总共分为四个部分.首先,我们研究了浸入到双曲空间中的子流形上L2调和l-形式的消失定理,在给定不等式成立的情况下,如果第一特征值满足一定的条件,则不存在非平凡的L2调和l-形式,并且可以得到相应的Liouville定理.其次,我们分析了浸入到球面Sn+m中的子流形上p-调和l-形式的消失定理.运用Bochner-Weitzenbock公式、Kato不等式、Sobolev不等式及Ricci曲率的下界估计,我们证明了全曲率有限的子流形上LQ(Q≥2)范数有限的p-调和l-形式空间的维数是有限的,此结果可以看作是Han[16]及Zhu-Fang[41,42]结果的推广.进一步,在全曲率充分小的条件下,我们证得完备非紧子流形上所有LQ(Q≥2)范数有限的p-调和l-形式必是平凡的.再次,我们探讨了满足加权Poincare不等式的黎曼流形中的p-调和l-形式,并得到结论:如果Weitzenbock曲率算子和Laplacian算子的第一特征值满足一定的条件,则不存在Lp范数有限的p-调和l(2≤l n-2)-形式,推广了之前Dung[9]和Vieira[36]的结论.另外,我们还推出在欧氏空间中的超稳定子流形上,不存在非平凡的p-调和1-形式.最后,我们将Vieira的方法应用到光滑度量空间上,在曲率算子有下界和第一特征值满足一定条件的假设下,证明了关于光滑度量空间中L2f调和1-形式的消失定理和相应的Liouville定理.
【学位授予单位】：东南大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O186.12

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本文编号：2682994