分数阶最优控制问题的谱配置法数值模拟

发布时间：2020-06-01 13:59

【摘要】：本文对两类控制受限的分数阶最优控制问题的谱配置法进行了研究.首先考虑了由时间分数阶扩散方程约束的最优控制问题:其中0Dtαu为u的α(0α1)阶左Caputo时间分数阶导数.基于“先离散,后最优”策略,我们对以上分数阶最优控制问题建立了一种数值格式.对空间变量采用Legendre谱配置法进行离散,建立了最优控制问题的半离散格式,并推导了半离散一阶最优性条件.对时间变量采用基于有限差分方法的L1格式进行离散.建立了最优控制问题的全离散格式,并推导了全离散一阶最优性条件.基于全离散一阶最优性条件设计了梯度投影算法.最后,通过数值算例验证了数值格式及算法的有效性,并与有限元方法离散[18]进行了比较.其次,我们研究了由空间分数阶扩散方程约束的最优控制问题:其中-1RLDx1+αu是状态量u的1 + α(0α1)阶左Riemann-Liouville空间分数阶导数.基于“先最优,后离散”策略,我们对以上最优控制问题提出了两种分数阶谱配置法离散格式.利用庞特亚金极值原理推导了空间分数阶最优控制问题的连续一阶最优性条件.运用两类分数阶Strum-Liouville问题的特征函数作为基函数分别逼近状态变量和伴随状态变量,建立了空间分数阶最优控制问题的分数阶谱配置法离散格式.针对状态方程和伴随状态方程的解在区间端点具有奇异性,我们采用改进的分数阶谱配置法[39]对状态方程和伴随状态方程进行离散,建立了改进的分数阶谱配置法离散格式.基于离散的一阶最优性条件,设计了梯度投影算法.最后,通过数值算例验证了两种格式及算法的有效性,并与一般配置法进行了比较.
【图文】：

图２．２：在Ｚ邋＝邋１／４．邋ｉ邋＝邋ｌ／２，ｆ邋＝邋１时，真解ｇ和数值解Ｑ．逡逑此外，表２．１中给出了状态量和控制量的Ｌ２误差和数值格式关于时间方向逡逑

逦ｌ．ｆｉ７ｃ－０５逦７．５５ｅ－０６逦３．４２ｅ－０ｆｉ逦１．５５ｅ－０６逦￣逦１．１４（１．１４）逡逑下面，我们考察空间方向的误差．为此我们取足够大的Ｍ，使时间方向的误逡逑差足够小．取：Ｔ邋＝邋ｌ，在图２．３中，画出了邋ａ、ｎ取值不同时Ｚｏｐ－误差的图像．最后，逡逑在表２．２中，我们取ａ邋＝邋１／７，，邋ｒ邋＝邋１和足够大的Ｍ，在ｎ取值不同时对本章中谱逡逑２３逡逑
【学位授予单位】：山东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82;O232

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本文编号：2691586