几类差分方程的理论研究及其在经济控制中的应用

发布时间：2020-06-08 10:31

【摘要】：差分方程的理论和应用作为数学研究的重要组成部分,在近些年来,备受关注。本文研究了差分方程两个很重要的分支:有理型差分方程和分数阶差分方程,其中,相对于分数阶差分方程而言,有理型差分方程的研究历史比较悠久。本文在有理差分方程部分,分别研究了一类二阶有理差分方程平衡解的局部稳定性和一类三阶有理差分方程的渐近稳定性。在分数阶差分方程部分,研究了三类分数阶差分方程解的存在唯一性并探讨了显示解这三类分数阶差分方程的方法。本文主要内容由三大部分构成,具体如下:第一部分主要研究了两类有理型差分方程解的稳定性。首先,将原有的有理型差分方程转化为平衡方程并计算出其平衡解,根据平衡解的取值范围(主要是平衡解的模与1的大小关系)初步判断平衡解的渐近稳定性;其次,求出该差分方程在平衡解处的偏导数,得到原有理型差分方程的线性化差分方程,将线性化差分方程转化为特征方程进而求出特征根,结合已有相关结论,根据特征根的取值范围以及与原差分方程的关系得到该有理差分方程解的理论性质;最后,在MATLAB环境下进行编程,从数值方面验证了所得结论的正确性。第二部分主要研究了Riemann-Liouvile型分数阶差分方程、Caputo型分数阶差分方程以及序列型分数阶差分方程解的存在唯一性。本文结合分数阶差分方程已有的研究理论,以向前差分为出发点,参考已有的向后差分的研究方法及相关的结论,运用Z变换理论,推导出了一些适用于向前差分的分数阶Z变换公式以及逆Z变换的求法,应用两个特殊函数的收敛性,证明了三类分数阶差分方程解的存在唯一性并探讨了显示解分数阶差分方程的方法。第三部分运用差分方程理论研究了一个经济控制中的应用实例。许多著名经济学家建立并提出某一地区宏观经济模型,然而却很少有将货币政策引进经济增长的综合模型中。在宏观经济模型的基础上,引入货币政策,就可以得到史密斯经济增长与货币政策综合模型,本部分主要运用差分方程组理论,从数学角度,研究史密斯经济增长与货币政策综合模型,最后给出数值例子加以验证。本文在有理型差分方程部分,分别研究了一类二阶有理差分方程和一类三阶有理差分方程,给出了研究有理差分方程解的稳定性的一般方法,并将其中常数用字母代替,得出了一般的结论;向后差分可以就想要得到的目标状态推算出当前状态,而向前差分可以由目前状态推算出未来的目标状态。然而,迄今已有一系列以向后差分为出发点分数阶差分方程理论的专著问世,而未见以向前差分为出发点的分数阶差分方程理论。本文经过推导总结,得出了以向前差分为出发点的几类分数阶差分方程解的存在唯一性,并且求得这几类分数阶差分方程的显式解;在经济控制部分给出了一个比较典型的例子,并且推导出了判断模型稳定性的一般方法。
【图文】：

图 3-1 差分方程(3-12)数值图像Fig 3-1 Difference equation (3-12) numerical imag，当方程（3-4）的系数满足定理 3.2（1） 0 .8333。 此 时 p 0.95, q 0 .25， 特 解得1 2 0 .475 0.156i , 0 .475 0.15方程（3-12）的汇点。多少，当平衡解是差分方程的汇点时，差333. 0.5, c 3, d 1.2表示为11.5 3 1.2n nn nx xx x ( n 2,3, )衡方程为：2,x

图 3-2 差分方程（3-14）数值图像Fig 3-2 Difference equation (3-14) numerical imag，，当方程（3-4）的系数满足定理 3-2（2）发散的。此时 p 0 .2, q 2，特征方程可化1 .5175，1 2 1, 1，故平衡解 x 0.8为多少，当平衡解是差分方程的源点时，差1, c 0.5, d 1.则差分方程（3-4）可表示为110.5 1n n nx x x ( n 2,3, ).程为2,.5 1xx 平衡解 x 0， x 1.其中非零平衡解为 x
【学位授予单位】：陕西科技大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.7

【参考文献】

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1 胡卫敏;苏有慧;

本文编号：2702950