一类非线性Kirchhoff方程约束态解的存在性

发布时间：2020-06-12 06:31

【摘要】：非线性偏微分方程通常产生于自然科学与工程领域,有着广泛的背景,不论在理论上还是实际应用中,都有重大的意义和价值.因为它能很好地描述自然界的重要现象,有效解决非线性问题,所以一直以来受到大量科研工作者的广泛关注.Kirchhoff方程是非线性偏微分方程中的最基本也是非常重要的一类非线性方程,因为含有非局部项|%絬|22△u,近年来受到了学者的广泛研究.本文在四维空间中,通过对带有正规L2(R4)范数的Kirchhoff方程对应的能量泛函进行精确估计,以及利用Gagliardo-Nirenberg不等式,并且证明一个严格的次可加条件,讨论了限制在L2(R4)范数下的Kirchhoff方程的极小化问题,得到了能量泛函的限制极小值点的存在性.在第二章中,我们考虑如下的Kirchhoff方程-(a+b(?)R4 |%絬|2)△u = |u|p-2u+λu,x∈R4.通过对带有正规L2(1R4)范数的Kirchhoff-h^程对应的能量泛函的精确估计,研究了以下能量泛函的限制极小化问题eVc:=ief u∈SV EVc(u),这里a,b0是常数,E(u)=a/2(?)R4|%絬|2+b/4((?)R4|%絬|2)2-1/p(?)R4|u|p,Sc = {u ∈H1(R4):|u|2=c0}.从而获得了V = 0和V ≠ 0两种情况下对于带有Kirchhoff项的正规L2范数限制下的极小值点的存在性.在本文的第三章中,我们考虑如下的Kirchhoff方程-(a+b(?)R4 |%絬|2)△u = |u|p-2u+λu,x∈R4,(1)其中λ∈R.利用Gagliardo-Nirenberg不等式以及证明一个严格的次可加条件来研究限制在L2(R4)范数下的Kirchhoff方程的极小化问题,即方程(1)在条件|u|2 = c下的极小化问题mc2:= inf u∈SV E(u),(2)这里E(u)=a/2(?)R4|%絬|2+b/4((?)R4|%絬|2)2-1/p(?)R4|u|p,Sc = {u ∈H1(R4):|u|2=c0}.接下来寻找方程-i(?)tφ=(a+b(?)R4|%溅諀2)△φ+|φ|p-2φ.(3)的驻波解,也就是方程(3)如下形式的解φ(t,x)= e-iλtu(x),其中λ∈R,u(x)为方程(1)的解,a,0是常数,进而得到了非线性Kirchhoff方程限制极小驻波解的存在性和轨道稳定性.
【学位授予单位】：山西大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.29

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本文编号：2709132