随机偏微分方程的模型约化方法

发布时间：2020-06-17 18:10

【摘要】：本篇博士论文主要研究随机偏微分方程的模型约化方法,旨在提高数值模拟的效率。在伽辽金投影的框架下,采用一些降维技术来构造降阶模型。在尽量维持精度的情况下,尽量减少计算成本。模型输入量的变量分离表达式是实现离线在线计算分离的关键,把模型输出量表示为变量分离形式可以极大地提高计算效率,有利于分析不确定性信息的传播和提高相关反问题的计算效率。为了高效地构造模型输入量和输出量的变量分离表达式,本文首先引入两种方法:基于样本的最小二乘方法和基于正交匹配的稀疏张量逼近法。假设G(x,ξ)是一个多变量函数(可以表示模型输入量或输出量)。我们试图在一个有限维空间中构造G(x,ξ)的可分的(即:G(x,ξ)≈G_N(x,ξ):=∑_(i=1)~Nζ_i(ξ)g_i(x))近似替代模型。假设ζ(ξ)是一个高维的随机函数,该部分还介绍了一种稀疏低秩张量逼近方法来构造其近似表达式。我们试图在有限维张量空间中通过求解一系列的稀疏秩一逼近问题求得ζ(ξ)的稀疏低秩表达式。其次,本文提出了一种新颖的变量分离方法(NVS)。首先对于多变量函数介绍了NVS的主要思想,该方法可用于求得模型输入量的变量分离表达式。并把NVS的思想推广到一般随机问题中,首先考虑含有高维随机参数的偏微分方程,NVS方法以一种迭代的方式求得所研究方程的变量分离的解,与那些已经被广泛应用的变量分离的方法相比较,本文提出的NVS方法拥有计算复杂度低和效率高的优势。在物理科学与工程应用中,许多模型可以转化鞍点问题来求解,比如达西流问题、最优控制问题以及斯托克斯问题。为了高效地模拟这一类问题,我们把NVS方法进一步推广到含有高位随机参数的鞍点问题。由于降维空间也要满足inf-sup条件,所以简单的类推并不能得到收敛的替代模型,就此问题我们提出两种解决方案:第一种方案,在每一步迭代中对系统的初始变量增加额外的基函数;另一种方案就是先把初始的鞍点问题进行正则化,然后将NVS方法用于正则化的系统,进而得到方程解的变量分离的近似解,这样可以减少分离的项数,从而进一步提高了在线计算的效率。最后,本节针对复杂随机多孔介质模型,提出两种混合多尺度约化方法。含有随机参数的非均质多孔介质中流体问题的模拟是随机偏微分方程的一种典型的应用。对于含有多尺度特征的流体问题,混合广义多尺度有限元方法(GMsFE)可以在粗网格上精确求解,并可以同时得到满足局部质量守恒的流体速度的数值解。当介质中含有参数化的随机变量时,广义多尺度有限元基函数通常会依赖于随机参数,从而会大大影响计算效率。为了克服这个困难,提出两种混合广义多尺度有限元基函数约化方法,这种方法得到的多尺度基函数不依赖于随机参数,从而可以得到一个与随机参数无关的低维的多尺度求解空间。为此,我们先用贪婪算法在一个较大的参数集合中选取少量的优化的参数样本,组成集合Ξ_(op);基于样本集合Ξ_(op),我们通过两种优化取样策略:基于基函数的交叉验证方法和合适正交分解来构造混合GMsFE约化基函数。
【学位授予单位】：湖南大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O211.63

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本文编号：2717967