带有奇异系数的随机（偏）微分方程的适定性及其相关问题的研究

发布时间：2020-06-20 19:40

【摘要】：从It(?)时代开始,无论是在数学还是其他交叉领域,随机微分方程都是研究的热点之一,因为随机微分方程模型在很多学科中都可以较好地拟合实际问题,如生物学中的人口增长模型、物理学中的滤波模型、生态学中的捕食食饵模型等.近年来越来越多的交叉学科的学者也很重视随机微分方程的研究,新的研究结果连绵不断出现.本博士学位论文从随机微分方程角度出发,考虑与随机微分方程及其相关的随机偏微分方程,非局部椭圆方程等解的适定性以及相关问题.第一章简要阐述了本文的研究背景和主要结果、并给出一些预备知识,以及文中使用的常用符号和一些经典的不等式、函数空间等.第二章考虑零初值的二阶抛物方程在全空间上的Lipschitz和W~(2,∞)正则性,其中非齐次项f满足Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin型的条件.作为该结果的直接应用,我们讨论了系数是临界情形下的随机热方程解的正则性,此外,我们还建立了漂移系数满足Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin型条件的随机微分方程强解的存在唯一性和Sobolev可微性.第三章讨论随机扰动下的非线性传输方程随机熵解的存在唯一性,其中,唯一性的证明基于双变量方法,而存在性的证明基于粘性消失法,同时我们发展了新的抛物逼近方法,并由此证明了随机强熵解关于非线性项的连续依赖性.第四章研究一类在有界区域上的非局部椭圆方程,通过Lax-Milgram定理和De Giorgi迭代技术,我们证明了L~∞解的存在唯一性.更进一步,我们讨论了非齐次测度值解的非局部椭圆方程的密度存在性.第五章考虑加性噪声驱动下的系数满足L~q可积条件的非局部偏微分方程的Cauchy问题,借助于热核估计理论和尾部概率计算方法,我们得到了温和解的存在唯一性和H¨older连续性.第六章给出总结和更进一步地研究进展.
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O211.63

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本文编号：2722874