求解大规模线性方程组的Anderson加速算法研究及应用

发布时间：2020-06-26 14:44

【摘要】：Anderson加速是提高不动点迭代收敛的一类有效方法。在计算化学、计算材料学等领域,该方法得到了成功的应用。在线性情形下,Anderson加速可以用于提高各类基于矩阵分裂的不动点迭代方法的收敛,包括Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代等。Anderson加速具有较好的并行性,再结合具有并行性较好的不动点迭代,期望可以获得求解大规模问题的高效并行迭代方法。本文以Anderson加速为基础,结合求解线性方程组的分裂迭代法开展了Anderson加速与分裂迭代方法相结合的研究。主要工作包括:(1)设计了Anderson加速分裂迭代方法和周期Anderson加速分裂迭代方法。这两类方法在每步迭代中采用Anderson加速或分裂迭代生成迭代点。(2)设计了混合Anderson加速分裂迭代方法。该方法在每步迭代中通过Anderson加速与分裂迭代相融合而生成迭代点。该方法的关键是确定Anderson加速和分裂迭代的混合系数。我们给出了最优的混合系数计算公式。(3)对于以上三类迭代方法,以三类模型问题开展了大量的数值实验分析。结果表明三者都是高效并行的迭代方法,其中混合Anderson加速分裂迭代方法比Anderson加速和周期Anderson加速分裂迭代方法收敛更快,效率更高。
【学位授予单位】：中国工程物理研究院
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.6
【图文】：

由于Ａ是非奇异矩阵，由上一节的讨论可知，满足上述实验条件时Ａｎｄｅｒｓｏｎ加速算法逡逑和ＧＭＥＥＳ方法等价．数值实验中，利用Ａｎｄｅｒｓｏｎ加速求解不动点迭代以逡逑Ｍ－＇块Ｊａｃｏｂｉ做预处理的ＧＭＲＥＳ方法求解Ａｃ邋＝邋６．具体实验结果如图２．１．逡逑图２．１⑴⑵分别展示了二维和三维情形下Ａｎｄｅｒｓｏｎ加速块Ｊａｃｏｂｉ迭代和块Ｊａｃｏｂｉ做预处逡逑理的ＧＭＲＥＳ方法求解Ｐｏｉｓｓｏｎ方程相对残差的下降曲线．二维情形下网格规模为１２８邋ｘ邋１２８，三逡逑维情形下网格规模为６４邋ｘ邋６４邋ｘ邋６４．如图所示，在二维情形下两者迭代曲线几乎完全吻合，而逡逑在三维情形下两者迭代曲线出现较小的差异．这是由于两种方法在实现中的舍入误差造成的．逡逑不过值得注意的是，Ａｎｄｅｒｓｏｎ加速和ＧＭＲＥＳ方法在三维情形下的走势是完全一致的．这表明逡逑数值实验层面，两者也是等价的．逡逑

Ｖ逦Ｄ邋）逡逑如图５．１邋（１）所示，按这种划分方式，Ｄ正好对应ａ：方向网格节点中一行的未知量．数值实验逡逑中，将２／轴相邻的若干行划分到同一个处理器上求解．（５．４）⑵表示对应的求解区域的划分，逡逑相邻同颜色的网格节点分配给同一处理器，每一个颜色点（网格节点）代表一个未知量．逡逑

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本文编号：2730460