有限光滑拟周期线性Cocycle的约化及其应用

发布时间：2020-07-11 17:44

【摘要】：在本文中,我们致力于研究有限光滑一维拟周期薛定谔算子HV,α,θ的谱及其相关的一些性质:(HV,α,θx)n=xn+1+xn-1+ V(θ+nα)xn,n ∈Z,(0.1)其中θ ∈ Td称为初始相位,α ∈ Rd(有理无关)叫做频率,V ∈ Ck(Td,R)是位势。我们知道,薛定谔算子HV,α,θ与薛定谔cocycle(α,A)有着十分密切的联系,这里（？）因为HV,α,θx=Ex的解满足（？）.因此,我们可以利用约化的方法来分析有限光滑拟周期线性SL(2,R)-cocycle:(α,A)∈ Td × Ck(Td,SL(2,R)):(θ,v)(?)(θ + α,A(θ)· v)的动力学性质然后利用它来研究算子(0.1)的谱性质。在第一章中,我们详细地介绍有限光滑拟周期线性cocycle,并给出谱理论的简介以及一些基本概念。在第二章中,我们证明有限光滑拟周期线性cocycle的定量几乎可约与可约结果。在几乎可约部分,我们首先证明解析KAM定理(扰动的KAM),然后利用它以及解析逼近来得到量化的Ck几乎可约定理。在可约部分,我们利用定量Ck几乎可约定理和两个正测可约引理(为了叙述方便,这里都称为正测可约引理)来获得定量Ck可约定理。在第三章中,我们利用第二章中建立的定量约化结果来做谱及谱相关应用。首先作为定量Ck几乎可约定理的谱相关应用,我们证明一类有限光滑拟周期cocycle Lyapunov指数的1/2-Holder连续性。同时,我们利用Thouless公式证明有限光滑小位势拟周期薛定谔算子HV,α,θ积分态密度的1/2Holder连续性。另一方面,作为定量Ck可约定理的谱应用(谱类型与谱结构),对于一类l2(Zd)上的多频Ck长程算子,我们证明它有纯点谱;此外,我们证明有限光滑小位势拟周期薛定谔算子的通有Cantor谱结果。值得一提的是,现有的有限光滑约化结果甚少,而我们的定量Ck几乎可约定理与定量Ck可约定理正是对Eliasson[31]中解析连续系统几乎可约与可约的推广。在推导Ck几乎可约的过程中,我们首先证明了一个解析KAM定理,经过迭代我们可以得到Ch,h'ω强几乎可约,h'h是任意指定的。这比Eliasson的结果强许多,因为[31]只能做到Cω弱几乎可约,即解析半径最后趋于零。这一点特别重要,因为弱几乎可约几乎没有谱应用,而强几乎可约的谱应用十分广泛。在几乎可约性的谱相关应用方面,对比Wang-You[59]有限光滑甚至C∞情形Lyapunov指数不连续的例子,我们的文章给出了与其不交的另一类正面结果(在几乎可约领域内LE为零,又LE是次调和函数故上半连续,而且LE非负所以在零处是下半连续的,故在零处连续,即几乎可约领域内Lyapunov指数均连续),由此可见有限光滑情形的结论非常丰富,值得我们去研究。另外,我们证明的有限光滑小位势拟周期薛定谔算子积分态密度1/2Holder连续的结果,是对Avila-Jitomirskaya[9]解析版本的推广并且我们允许频率是高维的而[9]只得到单频的结果。最后,在可约性的谱应用方面,我们得到了多频有限光滑拟周期薛定愕算子对偶算子LV,α,φ的纯点谱结果,这是对Avila-You-Zhou[14]与Jitomirskaya-Kachkovskiy[42]中解析情形结果的推广,而且与Bourgain-Goldstein[24]相比,我们方法上的优势是我们可以固定频率。另一方面,我们证明的有限光滑小位势拟周期薛定谔算子的通有Cantor谱结果,是对Eliasson[31],Puig[52]中解析情形定理的推广,不仅如此,注意到他们的结果是在Cω拓扑下的,而我们可以将其延拓为标准的解析拓扑空间Ch'ω。
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O177

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