求解波动方程的间断有限元方法及其波场模拟

发布时间：2020-07-19 20:21

【摘要】：为了适应数值模拟对复杂地质结构的要求,本文将间断有限元(Discontinuous Galerkin:DG)方法引入到数值求解地震波方程中。首先,对经典DG方法——Runge-Kutta DG(RKDG)方法进行了详细的数值稳定性和数值频散方面的研究,并且就这种方法的数值频散和计算效率方面与其它方法进行了比较。理论分析和数值实验表明,RKDG方法具有明显压制数值频散的能力,但是其数值Coutant-Friedrichs-Lewy(CFL)稳定性条件相比其它数值方法来说更为严格,计算效率低,同时存储需求大,不利于大尺度波场模拟和基于波动方程的地震偏移和反演。为了提高RKDG方法的计算效率,本文第一个方面的改进思路是针对RKDG方法CFL条件数过于严格的特点,提出了一种新的加权Runge-Kutta DG(WRKDG)方法。该方法采用基于数值通量形式的DG公式作为空间离散,在时间离散格式上引入一种隐式对角Runge-Kutta方法,并通过两次迭代使其变成显式格式。在迭代过程中设置了一个加权系数,使得该方法的适应性更强。之后,对WRKDG方法进行了详细的理论分析,包括其数值误差、稳定性条件、数值频散关系等。理论分析表明,与传统RKDG格式相比,WRKDG方法压制数值频散的能力并没有明显下降,但其CFL条件数却有了较大提高。对于P1次元和P2次元,WRKDG方法的最大库朗数分别是1.096和0.338,是经典TVD RKDG方法的3.5倍和2倍。同时,相对于经典有限差分方法——4阶SG方法,WRKDG方法具有更强的压制数值频散的能力。最后,本文对不同复杂地质模型进行了一系列波场模拟,证明了WRKDG方法的有效性和低数值频散特性。本文第二个改进RKDG方法计算效率的思路是将DG方法和其它方法通过区域分裂思想结合起来,发展了一种基于有限差分方法——最优近似解析离散(ONAD)算法和DG方法——WRKDG方法相结合的混合算法。该混合算法能将有限差分方法和DG方法的优点结合起来,避免各自的缺点。数值实验表明,该混合算法不仅能有效压制数值频散,而且能显著提高计算效率,尤其适合模拟波在具有复杂结构和多尺度结构介质中的传播。
【学位授予单位】：清华大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82

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本文编号：2762917