带Robin边界条件的热方程反边值问题
发布时间：2020-07-22 07:13
【摘要】：数学物理反问题已成为具有交叉性的计算数学、应用数学和系统科学中的一个重要研究方向.它在生命科学、材料科学、信号处理以及工业控制等领域具有重要而广泛的应用背景.热传导方程反边值问题是一类重要的数学物理反问题,在热成像、扩散光学成像和荧光成像等领域有广泛的应用.带Dirichet边界条件或Neumann边界条件的热传导方程反边值问题已有很多的研究结果,但对带Robin边界条件的情形研究较少.本文中利用定解区域的已知边界r2上的测量数据重建未知边界Γ1的形状及Robin系数的热传导方程反问题.假设热方程在已知的边界r2上满足Neumann边界条件,而在未知的边界Γ1上满足Robin边界条件,且Robin系数λ仅与空间变量有关.首先,将所研究的反问题归结为一个非线性不适定算子方程.其次,利用Newton方法将其线性化,再用正则化的最小二乘法进行求解.本文重点研究上述反问题的数值算法及其数值实现.全文结构如下:第一章,叙述热传导反边值问题的研究背景和已有的工作,并介绍本文的研究工作;第二章,利用边界积分方程方法求解正问题,将热方程的解用单层位势形式表示出来,再由单层位势及其导数在边界上的跳跃关系得到一个边界积分方程组,利用配置方法对积分方程组进行离散,求出密度函数,得到正问题的数值解.从而得到反问题中所需要的外边界上的测量数据;第三章,建立求解反问题的数值方法,将反边值问题归结为一个非线性不适定算子方程,再用Newton方法进行求解,迭代过程中需要计算算子在Frechet导数意义下的全微分,因此本章先给出该算子的全微分的理论推导,再给出数值计算方法;第四章,建立反问题的数值实现方案,给出数值算例说明算法的可行性和有效性;第五章,总结本文的主要工作和研究方法,并对未来的相关研究问题做出展望.
【学位授予单位】：东南大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.8
【图文】：
逡逑其中１／是边界的单位外法向量（如图１．１所示），Ａ邋＝邋Ａ0ｒ）邋＞邋０是Ｒｏｂｉｎ系数，本文中假设它逡逑仅与空间变量有关，Ｔ是固定的常数．逡逑＠逡逑图１．１区域示意图逡逑该模型对应的正问题是己知边界６上的热流／，区域乃，以及Ｒｏｂｉｎ系数Ａ，求温度分逡逑布而反问题是己知１＾２上的热流和相应的温度分布逡逑ｕ｛ｘ，ｔ）邋：＝邋ｇ｛ｘ，ｔ），逦（ｘ，ｔ）邋６邋ｒ２邋Ｘ邋（０，Ｔ），逦（１．２）逡逑重建未知边界ｈ的几何信息及Ｒｏｂｉｎ系数Ａ．具体而言，本文研宄的反问题分为三部分：逡逑１．
第四章数值实现例１．在花生型边界上重建阻尼系数逡逑Ａ邋＝尸．１逦，逡逑＾／１邋－０．２ｓｉｎ（２ａ）逡逑是半径为１．５，中心在原点的圆．逡逑初始猜测取＝邋１，三角多项式的展开项为尸＝２，左图是精确测量数据反演阻尼Ａ的结果，按照上述步骤开始迭代，迭代次数为Ｌ邋＝邋１０，右图是加Ｊ邋＝邋０．０１噪音水平的数据反演阻尼系数Ａ的结果，迭代次数为Ｌ邋＝邋１３．由图中可看到在精确测量数据下可较好的反演结果，将测量值加上误差之后也可得到阻尼系数的大致数值．逡逑
．媝s6逡逑０６＊邋１邋１邋１邋＇邋＇邋＇邋１邋逦0８＞邋１邋１－邋１邋１邋１—＾邋１—逡逑０邋５邋１０邋１５邋２０２５３０３５４０逦０邋１邋２邋３邋４邋５邋６逡逑图４．１精确数据逦带１％噪音水平的误差数据逡逑例２．在花生型边界上重建阻尼系数为逡逑Ａ邋＝邋１邋＋邋ｓｉｎ３邋ａ，逡逑徏是半径为２，中心在原点的圆．逡逑初始猜想取Ａ0邋＝邋１，三角多项式的展开项为Ｐ邋＝邋４，左图是用精确测量数据反演阻逡逑尼系数Ａ的结果，按照上述步骤开始迭代，迭代次数为Ｌ邋＝邋１０，右图是将精确测量数据加逡逑上＜５邋＝邋０．０１噪音水平的误差数据反演阻尼系数Ａ的结果，迭代次数为Ｌ邋＝邋１３．由下面两图逡逑可以看到在精确数据下可得到较为精确的数值，测量数据加上误差之后也可得到大致的逡逑数值？逡逑
本文编号：2765493
【学位授予单位】：东南大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.8
【图文】：
逡逑其中１／是边界的单位外法向量（如图１．１所示），Ａ邋＝邋Ａ0ｒ）邋＞邋０是Ｒｏｂｉｎ系数，本文中假设它逡逑仅与空间变量有关，Ｔ是固定的常数．逡逑＠逡逑图１．１区域示意图逡逑该模型对应的正问题是己知边界６上的热流／，区域乃，以及Ｒｏｂｉｎ系数Ａ，求温度分逡逑布而反问题是己知１＾２上的热流和相应的温度分布逡逑ｕ｛ｘ，ｔ）邋：＝邋ｇ｛ｘ，ｔ），逦（ｘ，ｔ）邋６邋ｒ２邋Ｘ邋（０，Ｔ），逦（１．２）逡逑重建未知边界ｈ的几何信息及Ｒｏｂｉｎ系数Ａ．具体而言，本文研宄的反问题分为三部分：逡逑１．
第四章数值实现例１．在花生型边界上重建阻尼系数逡逑Ａ邋＝尸．１逦，逡逑＾／１邋－０．２ｓｉｎ（２ａ）逡逑是半径为１．５，中心在原点的圆．逡逑初始猜测取＝邋１，三角多项式的展开项为尸＝２，左图是精确测量数据反演阻尼Ａ的结果，按照上述步骤开始迭代，迭代次数为Ｌ邋＝邋１０，右图是加Ｊ邋＝邋０．０１噪音水平的数据反演阻尼系数Ａ的结果，迭代次数为Ｌ邋＝邋１３．由图中可看到在精确测量数据下可较好的反演结果，将测量值加上误差之后也可得到阻尼系数的大致数值．逡逑
．媝s6逡逑０６＊邋１邋１邋１邋＇邋＇邋＇邋１邋逦0８＞邋１邋１－邋１邋１邋１—＾邋１—逡逑０邋５邋１０邋１５邋２０２５３０３５４０逦０邋１邋２邋３邋４邋５邋６逡逑图４．１精确数据逦带１％噪音水平的误差数据逡逑例２．在花生型边界上重建阻尼系数为逡逑Ａ邋＝邋１邋＋邋ｓｉｎ３邋ａ，逡逑徏是半径为２，中心在原点的圆．逡逑初始猜想取Ａ0邋＝邋１，三角多项式的展开项为Ｐ邋＝邋４，左图是用精确测量数据反演阻逡逑尼系数Ａ的结果，按照上述步骤开始迭代，迭代次数为Ｌ邋＝邋１０，右图是将精确测量数据加逡逑上＜５邋＝邋０．０１噪音水平的误差数据反演阻尼系数Ａ的结果，迭代次数为Ｌ邋＝邋１３．由下面两图逡逑可以看到在精确数据下可得到较为精确的数值，测量数据加上误差之后也可得到大致的逡逑数值？逡逑
【参考文献】
相关期刊论文 前1条
1 Kyoungsun Kim;Gen Nakamura;;NUMERICAL IMPLEMENTATION FOR A 2-D THERMAL INHOMOGENEITY THROUGH THE DYNAMICAL PROBE METHOD[J];Journal of Computational Mathematics;2010年01期
相关博士学位论文 前1条
1 王玉婵;几类抛物型方程反边值问题的数值求解[D];东南大学;2017年
本文编号：2765493
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