Hilbert空间上算子的若干逼近问题

发布时间：2020-07-22 18:56

【摘要】：算子逼近和算子数值域的研究一直是算子理论与算子代数中一个非常重要的研究领域.人们习惯利用算子的谱的信息来研究算子的逼近问题,尝试从其他方面和角度来逼近算子,在算子逼近理论中是一个值得尝试的思路.在本文中,我们将数值域的研究工作与算子的逼近理论结合起来,从算子数值域的角度来研究算子的逼近问题.有限维空间上算子的数值域都是一个闭集,而复无穷维Hilbert空间上算子的数值域并不一定是闭集.在2003年,Bourin证明了Β(Η)中的算子经过任意小的紧扰动都可以变成具有闭数值域的算子.对于给定算子类或算子代数中的算子,经过小紧扰动可以变成具有闭数值域的算子,但得到的算子是否仍在原来的算子类或算子代数中,却是未知的,也不是平凡的,对上述问题的研究就是本文的主要工作.我们首先对特殊算子类的数值域进行研究.在加权移位算子类,normaloid算子类,亚正规算子类,三角算子类,幂零算子类,拟幂零算子类,Cowen-Douglas算子类上,利用不同的方法证明了上述算子类中的算子均可经过小紧扰动变成具有闭数值域的算子,且仍在原来的算子类中.套代数中算子数值域的研究是本文最为主要的工作.由于套的类型的不同和套代数的特殊结构,相应的研究工作变得非常困难.经过努力,我们得到了简洁且统一的结果,证明了对任意的套,套代数中的算子均可经过小紧扰动变成具有闭数值域的算子,且仍在原来的套代数中.在最后,我们对有限维Hilbert空间上的复对称算子逼近问题进行了研究,并刻画了维数大于2的有限维空间上的非复对称算子的稠密性.
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O177
【图文】：

图１．１：邋Ｔ的数值域逡逑

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本文编号：2766220