分形几何的早期历史研究

发布时间：2020-08-11 09:27

【摘要】：分形几何学是20世纪70年代诞生的一门数学分支,它是继非欧几何创立之后几何学史上的又一次重大革命。作为大自然的几何学,它在现实生活中有着非常广泛的应用。因此,研究分形几何的早期历史具有非常重要的意义。本文在研读原始文献及其相关研究文献的基础上,通过历史分析和文献考证的方法,以“为什么数学”为指导思想,全面系统地考察了分形几何早期历史的内容和思想,深入剖析了分形几何创立的原因。取得的研究结果如下:1.全面考察了分析严格化的背景下,魏尔斯特拉斯函数、康托尔集和科赫曲线等早期经典分形集产生的背景、原因、过程和影响。魏尔斯特拉斯为了搞清函数的连续性和可微性之间的关系,构造了一条连续但处处不可微的病态函数。康托尔在单位区间上构造了一个完备但处处不稠密的病态点集。科赫运用递归法的思想,构造了一条可以几何直观表示的连续但处处不可切的病态曲线。这些病态的函数、曲线和集合的出现是推动分形几何创立的内因。2.系统梳理了分数维数概念的产生过程。为了准确测量出康托尔集的大小,康托尔、波莱尔和勒贝格等数学家相继提出了解决问题的办法和思路,但得到的结果不令人满意。直到卡拉泰奥多里在q维空间中定义了p维测度集,才使问题取得了一些进展。豪斯多夫在卡拉泰奥多里工作的基础上,将维数的取值范围由整数推广到分数,解决了康托尔集的测量问题。贝西科维奇完善了豪斯多夫关于分数维数的定义,给出了分数维数的确切概念。3.详细论述了贝西科维奇、布利冈和柯尔莫戈洛夫等数学家对分数维数理论的贡献。贝西科维奇研究了分数维数集的密度性质和微积分,在实数理论中探讨了分数维数集的具体应用。盒维数是一种重要的分数维数,它的最初模型由布利冈建立,庞特里亚金和施尼勒尔曼定义了具有数学表达式的盒维数,但缺乏严格性;柯尔莫戈洛夫和契霍洛夫给出了严格的盒维数定义;法尔科内则定义了现代意义下的盒维数。4.详尽阐述了莱维、莫兰和芒德勃罗等数学家对自相似理论的贡献。自相似思想最早可追溯至古希腊时代,德谟克利特、亚里士多德以及我国古代的数学、哲学和医学著作中也有关于自相似思想的论述,但尚未形成严格的理论体系。莱维引入了参数和阶数等一些基本数学概念,他是第一个对自相似性进行系统研究的数学家。莫兰将集合论引入自相似理论的研究,定义了自相似集的概念,形成了自相似理论的雏形。芒德波罗将统计性融入自相似理论,描绘了统计自相似性,解决了长期困扰大家的海岸线长度问题。5.细致探究了分形几何的创立过程,深入剖析了分形几何的创立原因。通过论文“英国的海岸线有多长”和著作《大自然的分形几何》,细致探究了分形几何的创立过程。在原始文献和相关研究文献的基础上,指出病态函数、曲线和集合的激励,数学理论发展的推动,实际问题的鞭策,以及创立者自身的优势是分形几何创立的主要原因。
【学位授予单位】：西北大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O189
【图文】：

论文,分形几何

图 1.1 论文基本框架论文除结语外共由六个章节构成。下面将根据内容安排，对各章节的基本情况进行简要说明：第一章，绪论。绪论由选题背景与意义、文献综述、拟解决的问题，以及论文的框架结构等部分组成。这一章主要交代论文的研究背景和意义、前人的研究工作、论文拟解决的问题和论文基本框架结构等。第二章，几类经典的分形集。病态函数、曲线和集合是分形几何的重要素材和思想源泉，它们在分形几何的早期历史中具有极其重要的地位。由于传统的数学理论难以合理解释这些病态函数、曲线和集合所具有的性质和特征，以及它们所导致的问题，因而诱发了创造新理论的动力。这一章将以分析严格化为背景，详细研究了魏尔斯特拉斯函数、康托尔集、科赫曲线和皮亚诺曲线等经典分形集产生的原因、背景、过程和影响，特别在分形几何创立过程中的影响。第三章，分数维数概念的产生。分数维数的出现是维数理论发展史具有里程

函数,论文,正奇数,实变量

微是可能的”①。1861 年，魏尔斯特拉斯在柏林大学的课堂教学中已经把这个函数的思想传授给了学生。不过，正式的论文则是 1872 年 7 月 18 日他在柏林科学院宣读的那篇，但是由于担心一些不必要的麻烦，他并没有立即发表，而是在两年之后用信件把论文寄给了好朋友雷蒙德(P.B.Reymond,1831—1889)，由后者在 1875 年将论文发表②。这个函数一经发表，就在他所处的时代引起了极大的轰动。魏尔斯特拉斯函数构造如下：“设 x是一个实变量，对于函数0( ) cos( )n nnf x b a x ，其中a是一个正奇数，b 是一个比1小的正数，如果ab的乘积大于某一个确定的极限，则函数 f ( x)连续但处处不可微”③。

康托尔集,史密斯

图 2.2 史密斯对康托尔集的描述①虽然，史密斯所给出的这个集合已经是康托尔集的一种表现形式，但由于这个集合的主要目的是为了解决黎曼积分中的在特殊条件上的存在性问题，而没有融进当时实数体系严格化的主流研究。再加上，这个集合研究对象似乎只仅仅针对断点上的可数集，而并非实际上的完备集，所以未能引起数学家们的注意。现在被大家所熟悉的康托尔集则由康托尔在 1883 年给出。众所周知，完备性和稠密性是实数理论中的重要性质。在分析严格化进程初期，一般认为完备性必然导致稠密性，完备性是稠密性的充分条件。然而实则不然，为了将两者彻底区分，康托尔在区间[0,1]上引入一个完备但处处不稠密的点集，如他在论文“关于完备点集上的幂”②( De la puissance des ensembles parfaits depoints)中定义道：

【参考文献】