几类传染病模型动力学问题研究

发布时间：2020-08-11 12:14

【摘要】：用微分方程建立并研究传染病模型是应用数学研究中的一个重要研究课题.本文利用微分方程稳定性理论和分支理论研究了四类传染病模型,着重分析了模型的平衡点的存在性、稳定性,以及各类可能发生的分支情况,例如后向分支、Hopf分支和Bogdanov-Takens分支.全文由六章构成:第一章简要介绍了传染病模型的发展历史及预备知识.第二章研究了一类带有气候变化发生率函数的SIRS模型.通过分析,发现当基本再生数R0≤1时,系统仅有一个无病平衡点E0,且其全局渐近稳定,疾病灭亡.若R01,系统有两个平衡点.一个无病平衡点E0和一个地方病平衡点E且v0或P1q时E*全局渐近稳定,疾病持续.当v=0时,通过计算第一 Lyapunov系数值,判定了系统的Hopf分支形式.数值模拟也表明了气候对疾病的影响因子λ越大,气候条件越不稳定,感染者将会越多.如果λ趋于无穷,此时整个宿主对恶劣的气候环境逐渐适应,I*也趋于一个稳定的值.第三章研究了一类带有饱和发生率与含有半饱和常数的饱和治疗函数的SIS传染病模型.研究表明当某些参数满足特定区域的值时,系统会产生一个后向分支.此时冗= 1不再是疾病是否消除的阂值.此外,给出无病平衡点E0和地方病平衡点E1,E2稳定的充要条件.通过计算第一 Lyapunov系数值,判定了系统的Hopf分支形式.还证明了在某些条件下,系统会产生Bogdanov-Takens分支.最后,在满足Bogdanov-Takens分支发生的前提下,通过Bogdanov-Takens规范型,分别给出三条分支曲线,即Hopf分支曲线,鞍结点分支曲线和同宿分支曲线.第四章研究了一类带有双线性发生率函数与线性饱和治疗函数的SIR传染病模型,推广了一类具有双线性发生率函数和饱和治疗函数的SIR传染病模型,研究了其地方性平衡点的存在性,稳定性及后向分支现象.研究表明:当基本再生数小于1时,若饱和治疗率较小,则系统发生后向分支.同时证明了系统至多存在4个平衡点.第五章研究了一类带有饱和发生率与选择性治疗函数的SIR传染病模型,治疗函数中的p和q代表疾病不同阶段对应着的不同的治疗率.当P≤q时,系统唯一的地方病平衡点E2全局渐近稳定.且当R01时,无病平衡点E0是全局渐近稳定的.当pq时,若R0R0＜1,系统存在多个平衡点,这也就意味着后向分支的发生.证明了系统会发生Hopf分支,同时分析了系统的Hopf分支形式.还证明了在某些条件下,系统会产生Bogdanov-Takens分支.最后也给出三条分支曲线,即Hopf分支曲线,鞍结点分支曲线和同宿分支曲线.第六章是总结以及对未来工作的展望.
【学位授予单位】：浙江理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175
【图文】：

图邋２．２邋当邋／４邋＝邋ｌ，ａ邋＝邋４，０邋＝邋０．２邋，邋ｄ邋＝邋０．２邋，邋Ａ邋＝邋０．０１，＂邋＝邋０．１５，０邋二邋０．３邋时疾病持续．逡逑注意到Ａ是刻画气候对疾病的影响因子，Ａ越大，气候条件越不稳定，感染者将会越多．逡逑尽管／？0不依赖于Ａ，但图２．３的数值分析表明当地方病持续时，随着Ａ的不断增加，稳定逡逑的地方病感染者数目／＊也在不断增加．如果Ａ趋于无穷，此时整个宿主对恶劣的气候环境逡逑逐渐适应，／＊也趋于一个稳定的值．式（２．４）中／＊的表达式也表明当Ａ趋于无穷时其趋于逡逑－个稳定的值．逡逑４逡逑。：Ｉ逦、逦＊１邋逦｜逦ｊ逦｜逦｜逦Ｉ逦｜逦｜逦｜逦｜逡逑０逦６逦１０逦２０逦＾逦３Ｇ逦４０逦４５逦￡０逡逑Ｉ逡逑图２．３邋对参数Ａ的依赖性．逡逑２．５邋小结逡逑近些年全球气候变暖，气候条件越来越不规律，从而导致了许多传染病的发病率逐渐增逡逑力口，危害人类的健康．例如疟疾，其分布与传播与温度、降雨量、空气湿度等环境气候Ｗ素逡逑２１逡逑

使得Ａ取值范围为［０．００４６５，０．０３３１５］，相对应的佝变化范围为［０．２１０４１，１．５］，显然逡逑在瓜＝１处产生了一个后向分支，且此ＦｆＭ分支导致了瓦＜邋／？。＜邋１时多个地方病平逡逑衡点共存的情况．图３．１表示的是Ａ邋＝邋０．０１时感染者数量与基本再生数的关系图．此T逡逑斤0邋＝邋０．４５２５邋＜邋１，瓦＝０．３５２４邋＜逦，故定理３．２的条件成立，且后向分支明显．逡逑１逡逑＼逡逑0逦ｒ——逦．逡逑０．ｉ逦１逦ｌ．Ｓ逡逑Ｒｏ逡逑图邋３．１邋当邋／ｌ＝邋１０，ｃｖ邋＝邋２，ｗ＝邋ｌ，ｄ邋＝邋０．１，ｅ邋＝邋０．１，＂邋＝邋０．０１，ｉｔ邋＝邋０．１，Ａ邋＝邋０．０１邋时的邋／？0－／逡逑图．逡逑接下来验证无病平衡点与地方性平衡点Ｅ２的稳定性．逡逑例邋３．２邋设邋／ｌ邋＝邋２，ａ邋＝邋２，ｗ邋＝邋ｌ，ｄ邋＝邋０．１，ｅ邋＝邋０．０１，／ｘ邋＝邋０．０１，／：邋＝邋０．１，Ａ邋＝邋０．０１．此时逡逑／？．0邋＝邋０．０（Ｊ０５邋＜邋１，瓦＝０．３0４２邋＞瓜，故定理３．１０（２）的条件成立，此时由图３．２可看出唯一逡逑的平衡点＆是全局稳定的．逡逑例３．３采用图３．１的参数，此时瓦邋＜邋私＜邋１，故说，五２均存在．私为一个鞍点，五２逡逑此时局部渐近稳定．从图３．３可以看出，鞍点私的稳定流形将／？２＋分成了两块区域，在上逡逑半区域曲线收敛于地方病平衡点￡２，此时疾病持续，不会灭亡．在下半区域１１１１线收敛于无逡逑病平衡点

图４．２不稳定鞍点Ｚ？３与稳定平衡点五４邋．逡逑．

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本文编号：2789054