基于特征和方法的Kloosterman和相关问题的研究及其应用

发布时间：2020-08-13 17:12

【摘要】：1912年,Henri Poincare在讨论模形式问题时第一次提到了 Kloosterman和.1926年,H.D.Kloosterman在研究整数表示为平方和问题时,运用Hardy-Littlewood方法,在复数域中进一步对经典Kloosterman和进行了研究.这类和式在解析数论中有着重要的作用和研究价值.然而我们注意到经典Kloosterman和中a及(?)的指数均为1.事实上在研究某些数论问题时,往往涉及到的一些和式或者带有Dirichlet特征,或者和式中的a和(?)的指数不全为1.故而为了将来研究的方便本文将经典Kloosterman和进行推广,定义两类新和式:(r,S)型Kloosterman和K(r,s,m,n;g)与带特征的广义Kloosterman和K(m,n,χ;q),并进一步研究它们的性质.具体地,本文将基于特征和方法,运用特征及Gauss和的相关性质,并结合同余理论,研究新定义的两类Kloosterman和的高次均值问题;并将研究与其密切联系的二项指数和与三项特征和的混合均值;作为应用,本文求解了一类对角同余方程解的个数,并给出包含Chebyshev多项式的一个积分卷积公式,而且彻底解决了陈永高提出的关于Leviine-O’Sullivan序列的猜想.1.对于(r,s)型 Kloosterman和K(r,s,m,n q,本文取参数g,r,s 为一些特殊值,并运用同余的性质,研究其四次均值准确的计算公式.对于广义Kloosterman和K(m,n，χ;q),本文主要结合B.J.Birch的重要工作,参考S.Chowla,J.Cowles,M.Cowles 的工作,以及 W.Duke,H.Iwaniec 的相关结论去讨论这类广义Kloosterman和的2k次均值性质.并利用三角和及Guass和的性质,解决了其在k取一些小整数值且模p特征χ取一些特殊情形时准确的计算公式.2.本文利用特征和的性质以及相关的同余理论,将二项指数和与三项特征和中的参数均取为k = 3,h = 2,给出二项指数和与三项特征和混合均值的计算公式.3.作为指数和问题的应用,我们利用特征和的性质及分析的手段,给出对角三次同余方程解的个数的计算公式.即当c≠0 modp时,本文给出三次同余方程x_1~3+x_2~3 + x33+x_4~3≡c mod p解的个数的计算公式.并且作为一个推论,还可以得出二项指数和四次均值的计算公式.4.Chebyshev多项式是一类很重要的正交多项式,我们知道它的许多性质的研究在数值分析、工程数学、金融数学、非线性数学物理方程中都有着重要的应用.本文给出第一类Chebyshev多项式的积分卷积公式,研究的方法主要是利用代数手段并结合第一类Chebyshev多项式的性质,5.对于Levine-O'Sullivan序列{q_n},陈永高提出两个猜想,杨仕椿与蒋自国对其进行研究并已经解决了第二个猜想.但对第一个猜想,至今还未被证明其准确性.本文则继续研究这个问题并将彻底解决这一猜想,严格地证明了q_n=β~(β-3)n~β+o(n~β).主要用到的方法是最初等的数学归纳法以及数学分析的理论.
【学位授予单位】：西北大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O156.4

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