随机流体方程的若干问题

发布时间：2020-08-18 12:13

【摘要】：本论文研究R2中有界区域上不可压缩的随机Navier-Stokes方程和随机二阶流体方程,Navier-Stokes方程描述的是牛顿流体的运动规律,二阶流体方程描述的是一类非牛顿流体的运动规律。我们首先考察随机Navier-Stokes方程,研究其一类逼近问题,即我们将证明由纯跳噪声驱动的随机Navier-Stokes方程的解会逼近到由布朗运动驱动的随机Navier-Stokes方程的解。我们在恰当的条件下得到了上述逼近结果。证明这个逼近问题的困难在于确立逼近方程的解在L2-值的右连左极轨道空间中的胎紧性。为了克服这个困难,我们先假设初值、外力和跳噪声的系数取值于更高正则性的函数空间,从而能够得到逼近方程解的更强范数的一致估计,并利用这些估计,确立了逼近方程解的胎紧性,然后通过鞅刻画,我们证明了逼近方程的解的极限就是由布朗运动驱动的随机Navier-Stokes方程的解。之后,我们通过有限维投影对初值、外力、跳噪声的系数进行逼近,得到了与这种有限维投影相对应的方程的解在依概率意义下的一致收敛性,从而我们可以去掉对初值、外力和跳噪声的系数的限制。在第二部分中,我们考察随机二阶流体方程,从以下三个方面进行了研究。一、由Lévy噪声驱动的随机二阶流体方程的概率强解的存在唯一性。我们采用变分法,证明了二阶流体方程满足局部单调性条件。但是目前已有文献中的各种变分框架都覆盖不了本论文所考虑的情况,原因是那些框架所需要的强制性(coercivity)条件或广义的强制性条件二阶流体方程均不满足。在本论文中,我们导出了非线性curl-项一个新的正交性质(即在Sobolev空间W3,2的一个等价范数对应的内积下,curl-项与解是正交的),从而建立了 Galerkin逼近解W3,2-范数的一致估计,进而得到了 Galerkin逼近序列相应的收敛性。通过充分利用局部单调性,我们证明了由Lévy噪声驱动的二阶流体方程的概率强解的整体存在性和唯一性。我们的结果也适用于由高斯噪声驱动的情形,并且改进了文献中鞅解已有的相应结果,而且我们所用的方法更简单。二、我们考察由线性乘法高斯噪声驱动的随机二阶流体方程的解所生成的动力系统,得到了三个主要结果:1.解生成了一个连续的随机动力系统;2.此系统在相空间中具有较高正则性的点处是Fréchet可微的;3.此随机动力系统是渐近紧性的,且拥有随机吸引子,当噪声强度趋于零时,随机吸引子是上半连续性的。由于二阶流体方程的高度非线性性和curl-项的出现,使得二阶流体方程的耗散性很弱,解算子不是光滑的也不是紧的,从而很难直接构造一个紧的不变的随机吸收集。在本论文中,我们通过布朗运动的指数变换,将随机二阶流体方程化为一个带有随机系数的偏微分方程。我们一方面证明了随机动力系统存在一个随机吸收球,另一方面得到了随机二阶流体方程的解所满足的能量方程。利用这些结果,我们建立了随机动力系统的渐近紧性和随机吸引子的存在性。进一步,通过利用渐近紧性,我们得到了随机吸引子的上半连续性。三、由线性乘法高斯噪声驱动的随机二阶流体方程的非适应初值问题解的存在唯一性。证明这个问题的困难之处在于无穷维框架下Kolmogorov连续性定理不成立。因此,我们采用如下三个步骤:第1步、得到关于希尔伯特值随机变量的Malliavin导数的一个链式求导法则;第2步、在合理的条件下建立Skorohod不定积分的一个乘积公式;第3步、利用Galerkin逼近来证明带确定性初值的随机二阶流体方程的解是Malliavin可微的。结合这三个步骤,并利用布朗运动的指数变换,我们证明了若将确定性初值看做随机二阶流体方程解的一个无穷维参数,则把非适应初值带入这个参数后,得到的过程恰好是相应的非适应初值问题的解。利用布朗运动的指数变换和建立的Skorohod不定积分的乘积公式,我们很容易得到二阶流体方程非适应初值问题解的唯一性。本论文中建立的Skorohod不定积分的乘积公式,可以用来解决更一般框架下由线性乘法噪声驱动的随机偏微分方程的非适应初值问题。
【学位授予单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

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本文编号：2796203