几类非线性微分方程的解析解构造方法研究

发布时间：2020-08-22 10:59

【摘要】：本文主要研究两类问题,一类是非线性微分方程解析解构造方法的改进,一类是解析解构造方法在实际问题中的应用.本工作分为五个章节:第一章,介绍孤子理论,非线性气泡和解析解构造方法的历史及研究现状,并在此基础上给出本文的主要工作.第二章致力于同伦分析方法的改进,分别探讨了两种改进的方式:一种是为了克服传统的多项式表达的同伦分析解通常只在局部区域内有效的问题,本文应用形式幂级数理论,给出了各子区间上解的统一表达式,进而获得了在更大区域内有效的分段同伦分析解;另一种是应用牛顿迭代的思想,将优化的同伦分析解反过来修正初始猜测解,提高了级数解的收敛速度和精度.第三章,通过Hirota双线性方程,构造了非局部Boussinesq方程的拟周期波解,并通过分析其渐近行为给出了拟周期波解与对应孤子解的关系.第四章考虑了在不可压流体中描述气泡运动的Rayleigh-Plesset方程的解析解构造问题.通过不同的构造方法,分别给出了 Rayleigh-Plesset方程不同形式的解析解,并在此基础上分析了运动规律.第五章总结了本文的主要工作,并展望了未来的研究方向.
【学位授予单位】：大连理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175
【图文】：

真解,初值问题,正方形,实线

邋（２．２１）逡逑［Ｕｋ（ｔ）邋＝邋Ｕ（ｔ￣ｋｄ；邋Ｕｋ＾（ｋｄ），邋Ｕ＇ｋ＿ｘ｛ｋｄ））＼ｈ＝＿ｘ，邋ｔ邋ｅ邋［ｋｄ，邋（ｋ邋＋邋ｌ）ｄ］，邋Ｖｋ邋ｇ邋Ｎ＋．逡逑图２．１（ｂ）给出了不同Ａ时的９阶ＨＡＭ解ｔ／（ｒ；邋１，０），它们都在某个小区域内和真解吻逡逑合良好，且级数解的收敛区间随着＆邋＜邋０的增大而增大．这再次印证了廖的猜想．图２．２给逡逑出了邋９阶ＰＨＡＭ解（２．２１）在步长ｏｆ邋＝邋０．５时和真解的对比，它们在整个区域内吻合的良逡逑好．通过图２．１（ｂ）中的ＨＡＭ解和图２．２中的ＰＨＡＭ解（２，２１）的对比，说明ＰＨＡＭ解比逡逑ＨＡＭ解具有更大的有效区域．逡逑－１７－逡逑

真解,正方形,实线,初值

（ｅ）邋Ｕ４（0逦（ｆ）逦Ｕ５（ｔ）逡逑图２．４实线：由（２．２９）式表示的［４（0，々＝０，１，．．．，５在／１邋＝邋－１和３邋＝邋０．５时的图像．实心正方形：真解．逡逑Ｆｉｇ．邋２．４邋Ｔｈｅ邋ｃｕｒｖｅｓ邋ｏｆ邋／７人＇⑴，众二邋０，邋１”．．，５邋ｉｎ邋（２．２９）邋ｗｈｅｎ邋／？邋＝邋—１邋ａｎｄ邋ｄ邋＝邋０．５

方程,精确解,近似解,绝对误差

图２．８邋（ａ－ｂ）方程（２．５９）给出的ＨＡＭ解＾（虚线）和方程（２．６７）给出的ＰＰＭ解＠１，（０）（实逡逑心圆圈）和精确解（２．７２）（实线）之比较；和的的绝对误差；（ｄ）由确定的逡逑Ｖａｋｈｎｅｎｋｏ方程（２．４８）的近似解ｗ（ｘ，ｒ）和精确解（２．６９）之比较．逡逑Ｆｉｇ．邋２．８逦（ａ－ｂ）邋ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ邋ｂｅｔｗｅｅｎ邋ｔｈｅ邋ＨＡＭ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邋ｇ［0］ｐｔｉｍａｉｉｆｉ）邋（ｄａｓｈｅｄ邋ｌｉｎｅ），邋ｔｈｅ邋ＰＰＭ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邋ｇ［0ｐｔ｝ｍａｉｉｄ）逡逑（ｓｏｌｉｄ邋ｃｉｒｃｌｅ）邋ａｎｄ邋ｔｈｅ邋ｅｘａｃｔ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邋（ｓｏｌｉｄ邋ｌｉｎｅ）邋ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ邋ｂｙ邋Ｅｑｓ．邋（２．５９），邋（２．６７）邋ａｎｄ邋（２．７２）邋ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ；邋（ｃ）逡逑ａｂｓｏｌｕｔｅ邋ｅｒｒｏｒｓ邋ｏｆ邋ｇ［0］ｐｎｔｎａｉｉ0）邋ａｎｄ邋ｇ［0ｐ）ｌｎａｉ｛0）＼邋（ｄ）邋ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ邋ｂｅｔｗｅｅｎ邋ｔｈｅ邋ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ邋ｕ（ｘｊ）邋ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ邋ｂｙ逡逑ｇ＾ｐｌＪｍａｉ（0）邋ａｎｄ邋ｔｈｅ邋ｅｘａｃｔ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邋（２．６９）邋ｆｏｒ邋Ｖａｋｈｎｅｎｋｏ邋ｅｑｕａｔｉｏｎ邋（２．４８）．逡逑比较方程（２．６９）和（２．７１），可得ｖ邋＝邋１，并且逡逑ｇ（６）邋＝邋ｔａｎｈ邋（０－１－逦（２．７２）逡逑根据所求相同的高阶形变方程的个数，接下来将比较和分析所求结果和传统的ＨＡＭ逡逑解．显然，得到ｒ阶ＨＡＭ解ｇＭ（０）和［ｍ，ｒ］阶ＰＰＭ解产，０）所需求解的高阶形变方程个逡逑

【参考文献】