Hardy型调和函数空间上的Toeplitz算子

发布时间：2020-08-25 10:17

【摘要】：Toeplitz算子理论与物理、概率论、信息论和控制论等领域中的许多问题都有着密切的联系。Toeplitz算子是除微分算子之外另一类非常重要的非自伴算子,并且是连接算子理论,函数论和Banach代数的重要纽带。本文推进了多复变重调和Hardy空间上Toeplitz算子的研究,并且引入了对偶截断Toeplitz算子,研究了与这种算子相关的代数问题,研究结果发现这两类算子与Hardy空间,Bergman空间,Dirichlet空间,调和Bergman空间,调和Dirichlet空间上的Toeplitz算子的性质存在巨大的差异。本文内容分为六章。第一章,绪论。引入Hardy型调和函数空间和其上的Toeplitz算子,与经典函数空间上的Toeplitz算子进行对比。第二章,我们给出了双圆盘重调和Hardy空间上的两个具有重调和符号的Toeplitz算子交换和半交换的充要条件,这些结论(已经发表在Results in Mathematics,72(3):1473 1497,2017)与经典Hardy空间、调和Bergman空间和调和Dirichlet空间情况完全不同,在Hardy空间上解析符号的Toeplitz算子一定交换和半交换,而对于调和Bergman空间和调和Dirichlet空间,解析符号的Toeplitz算子交换和半交换只有平凡的情况,但是在双圆盘重调和Hardy空间上,两个解析符号的Toeplitz算子不一定交换,并且存在非平凡的解析Toeplitz算子是交换的。第三章,我们引入对偶截断Toeplitz算子。假设u是非常数的内函数,H~2是单位圆盘上的Hardy空间,(?)称为模型空间。我们研究了定义在模型空间正交补(?)上的对偶截断Toeplitz算子,(?)是一个调和函数空间,并且具有一种非对称的结构,这个特点不同于调和Bergman空间和调和Dirichlet空间的结构。在Hardy空间上两个Toeplitz算子乘积为零和为有限秩算子是等价的,在(?)情况完全不同,并且取决于u。我们给出了两个对偶截断Toeplitz算子乘积为零和为有限秩算子的充要条件,而且完全刻画了两个一般符号的对偶截断Toeplitz算子半交换的条件,这些结论已经发表在JMAA,461(1),929-946,2018。第四章,我们研究了对偶截断Toeplitz算子的交换性。我们发现研究对偶截断Toeplitz算子的交换性的问题可以约化为研究解析符号的对偶截断Toeplitz算子的情况,解析符号的情况等价于Hardy空间上三个Hankel算子的混合交换的问题,这个问题本身具有一定的难度。最后我们给出了两类解析符号的对偶截断Toeplitz算子交换的条件。第五章,我们研究了几类与对偶截断Toeplitz算子相关的代数,获得了两个短正合序列,其结论类似于单位圆盘Bergman空间正交补上的对偶Toeplitz算子的情形。此外,我们完全刻画了以z为符号的对偶截断Toeplitz算子的换位,发现换位中存在着大量的非对偶截断Toeplitz算子。其结果与单位圆盘Hardy空间上的Toeplitz算子和截断Toeplitz算子完全不同。我们还运用上述的结论研究了对偶截断Toeplitz算子的Fredholm性和谱集的结构。第六章,我们对全文的结论进行归纳,寻找未解决问题的难点,展望下一步的研究工作。
【学位授予单位】：重庆大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O177

【参考文献】