时域边界元法的稳定性及精度研究

发布时间：2020-08-27 07:52

【摘要】：边界元法使用边界上的积分方程来代替实际问题的控制方程,将边界离散化为有限个单元,然后在离散单元上对积分方程进行求解,将对整个求解域内的未知量的求解转化为对边界未知量的求解,使问题的维度得到降低。基本解的使用使得边界元法具有了解析的特点,因而具有较高的求解精度。时域边界元法是基于动力基本解建立边界积分方程的边界元法,作为一种高效的数值处理工具,时域边界元法近年来得到了快速的发展。随着研究的深入,其数值结果的不稳定问题逐渐凸显出来。单元种类的选取对数值结果有着很大的影响,本文使用精度更高的线性单元对面力和位移在时间和空间上进行离散,对离散后的影响系数矩阵进行组装,并对影响系数矩阵元素进行了求解。采用全线性元的时域边界元法将具有更高的精度。在时域边界元法的稳定性改进方面,使用数值算例对其不稳定性进行了说明,并研究了不稳定现象产生的原因,包括现有的插值形函数无法满足波动中的“因果关系”条件,时间步长的选取不当,数值积分误差的累加,其中时间步长为最主要因素。针对其不稳定性,本文借鉴了有限元中改进稳定性的Wilson?法的原理,通过增大当前时间步来提高时域边界元法的稳定性,即向前时间预测法,并完成了理论推导和程序实现。使用改进后时域边界元法对经典的悬臂梁问题进行计算,将计算结果与改进前的结果进行对比。对比结果显示,采用了全线性元离散并用向前时间预测法改进后的时域边界元法,在数值结果的稳定性方面有了明显的改善。时间参数的选取直接决定了时间步长的取值,而时间步长又是影响时域边界元法稳定性的最重要因素。本文制定了时间参数的研究方案,包括时间参数的选取和误差的计算。而后根据已制定的研究方案对悬臂梁算例和无限域孔洞算例进行研究,得到时间参数与误差之间的关系,最终给出改进后时域边界元法中时间参数的合理取值范围。
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82
【图文】：

边界单元,源点,结点

式（2-60）实际上就是时间单元的组装，当 m M时，不需要对时间后进行叠加，只需取时间点Mt 的影响系数。求出各时间积分系数后，对空间积分系数采用高斯积分计算 r 的积分分都在自然坐标系下进行，在单元内选择某几个点作为积分点，计算出函数在这些点处的函数值，再用加权系数乘以这些函数值，最后求和即到近似的积分值。为了满足数值积分必要的精度要求，对于处于不同的位置的脉冲作用点和单元，高斯积分点数可以根据脉冲作用点到边界单垂直距离与单元长度的比值来选取，当二者比值较大时，可以采用较少斯积分点，当比值较小时，可以采用较多的积分点数。.5.2 空间奇异子矩阵元素求解当场点与源点重合时，采用线性单元对 r 和进行离散时，奇异子矩素位于矩阵对角线位置，当源点遍历所有边界点时，与该单元的边界点时形成的矩阵即为 H 和G 矩阵对角线子矩阵元素，因此具有强奇异性， 2-1 所示，根据 p 点在边界单元第一结点和第二结点，分两种情况。

荷载分布,无限域,荷载分布,孔洞

图 4-5 无限域孔洞网格划分及荷载分布分方法及 4.4.1 中的材料参数及荷载分布对后的时域边界元法求得 r 2m 处的应力结果对比。分析特征线法解的计算和时域边界元法的数值实的选取和误差计算。，此处以特征线法的结值。得到的结果如表 4-2 所示。表 4-2 无限域孔洞误差计算结果差时间参数误差时间参数 23 0.75 0.028 1.30 16 0.80 0.033 1.35 02 0.85 0.039 1.40 47 0.90 0.041 1.45

【参考文献】