关于平均曲率流自收缩解若干问题的研究

发布时间：2020-09-07 11:17

　　 平均曲率流是一类将子流形沿其平均曲率向量形变的几何热流.它在第一类奇点处的爆破极限为满足方程H-X,N/2-= 0的欧氏空间中的超曲面,我们称之为self-shrinker.Self-shrinker在研究平均曲率流方面起着重要作用,因为它们不仅描述了平均曲率流在给定奇点处的所有可能爆破模型,而且它们还对应于平均曲率流的自收缩解.众所周知,(?)-算子在self-shrinker的研究中起着极其重要的作用.本文,我们首先研究了 self-shrinker上三个重要的偏微分方程(?)u=-0,(?),以及(?)u= Au.讨论了它们各自正解的整体梯度估计和局部梯度估计,并给出这些估计的很多应用,获得一些Hamack不等式,获得(?)一算子第一特征值的下界估计等.然后我们研究了 self-shrinker上有关(?)-算子的Reilly不等式,利用此Reilly不等式,我们获得self-shrinker上一些新的Poincare不等式,同样的,我们也获得self-shrinker边界上的一些Poincare不等式以及特征值的估计,建立了边界上广义平均曲率Hρ的整体估计.体积保护的平均曲率流作为一般平均曲率流一种推广,在第一类奇点处的爆破极限满足方程H-X,N/2= λ我们称之为λ-超曲面.在本文里,我们主要研究了无多项式体积增长的假设下的λ-超曲面的分类和刚性.使用关于(?)-算子的推广的极大值原理,超曲面第二基本形式的加权L2-条件,超曲面上Sobolev不等式以及超曲面的ρ-抛物性等,我们将self-shrinkers上的许多结果推广到λ-超曲面上来.此外,我们还讨论了λ 超曲面上的体积比较定理,并给出了体积比较定理的许多应用,证明了 λ-超曲面上的Milnor定理和Hurewicz定理等.最后,我们讨论了 λ-超曲面上一些拓扑结构.如在对内体积增长给予某些限制的条件下,研究了 λ、半径κ和维数n的关系;将著名的Myers定理推广到完备连通的λ-超曲面上来;获得oo-Bakry-Emery-Ricci曲率非负的有界λ-超曲面在无穷远点的拓扑性质;获得使λ-超曲面紧致的充分条件等等.
【学位单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O186.11

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本文编号：2813268