黎曼流形上特征值及相关问题的研究与应用

发布时间：2020-09-09 21:41

　　 本论文主要研究了几何分析中两方面的问题:一是单位球面Sn中凸区域上特征'值的基本间隙问题,二是Bakry-(?)mery Ricci曲率积分条件下局部Sobolev常数估计及应用.基本间隙问题是几何分析领域中一个重要课题,它是指Laplacian算子或Schrodinger算子的基本间隙(前两个特征值之差)的最优下界估计.著名的基本间隙猜想(S.T.Yau问题集中§IV节谱的一个补充问题[69])称Rn中直径为D凸区域上Laplacian算子或带有凸位势的Schrodinger算子在Dirichlet边值条件下基本间隙的最优下界是3π2/D2.经过数学家们几十年的努力,在2011年B.Andrews与J.Clutterbuck[2]完全解决了该猜想,进而猜想常截面曲率空间中也有类似的结论.本文研究了单位球面Sn中凸区域上类似的基本间隙猜想,即证明了 Sn(n ≥ 3)中直径不超过π/2的有界凸区域的基本间隙最优下界估计,在韦国芳等人后续的工作[31,39]中分别去掉了维数和直径的限制,从而完全解决了 Sn的情形.另一方面,Sobolev不等式是几何分析中一个重要工具.Sobolev常数的估计通常依赖于体积比较定理,因此它与流形的曲率密切相关.不同曲率条件下的局部Sobolev常数估计已有很长的历史，一个最新结果是Dai-Wei-Zhang[32]在不要求体积非塌缩的条件下得到了积分曲率条件下的局部Sobolev常数估计.本文将该结论推广到Bakry-(?)mery Ricci曲率积分条件的情形.针对上述问题,本文具体工作如下:在第一章中,我们回顾了基本间隙问题的研究背景及最新进展,以及不同曲率条件下局部Sobolev不等式的发展历程及现状.在此基础上介绍了本文的主要工作及创新点.第二章中我们主要研究了单位球面Sn中凸区域上的基本间隙猜想.证明了维数n ≥ 3时Sn中直径D ≤ π/2的凸区域上基本间隙的最优下界是D2.为此,首先考虑了一维模型空间的基本间隙,得到n ≥ 3时最优下界为D2.其次,应用多点极大值原理证明了第一特征函数的一个关键结论-log-concavity比较定理,得到该定理成立的条件为Sn中凸区域的直径不超过7.最后应用log-concavity比较定理和两点距离函数的“Laplacian比较定理”建立了基本间隙比较定理.在第三章中,利用局部Sobolev常数与等周常数的等价性,我们建立了完备的光滑度量测度空间中Bakry-(?)mery Ricci曲率积分条件下局部Sobolev不等式.作为应用,我们得到了该曲率条件下的极大值原理和梯度估计.
【学位单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O186.12

【相似文献】

相关期刊论文 前10条

1 张志兵;陈抚良;;局部对称的黎曼流形中的极小子流形[J];纯粹数学与应用数学;2013年04期

2 李潇寰;郭瑞芝;;共形平坦的黎曼流形[J];湖南理工学院学报(自然科学版);2009年03期

3 徐慧群;完备非紧黎曼流形到拼挤黎曼流形的P-调和映照[J];杭州师范学院学报(自然科学版);2004年01期

4 刘杨;二维完备无边黎曼流形上最短时间控制的存在性[J];山东大学学报(自然科学版);2001年03期

5 李同柱,陈六新;直积黎曼流形的共形平坦类[J];云南师范大学学报(自然科学版);2001年06期

6 赵培标;关于黎曼流形的超曲面(英文)[J];信阳师范学院学报(自然科学版);2000年03期

7 吴跃生;一般黎曼流形中极小子流形[J];四川师范大学学报(自然科学版);1992年03期

8 刘会立;;伪黎曼流形的调和映射与极小浸入[J];辽宁大学学报(自然科学版);1992年03期

9 费绍稷;;容有S-共圆联络的黎曼流形的几个性质[J];四川师范大学学报(自然科学版);1992年01期

10 欧阳崇珍;;等谱黎曼流形的注记[J];科学通报;1993年05期

相关博士学位论文 前10条

1 王丽莉;黎曼流形上特征值及相关问题的研究与应用[D];华东师范大学;2018年

2 詹华税;二阶拟线性退化抛物方程的Cauchy问题和黎曼流形平行性的研究[D];厦门大学;2004年

3 舒世昌;黎曼流形的曲率、拓扑与M（？）bius特性研究[D];西安电子科技大学;2005年

4 叶桂波;黎曼流形上的学习理论—在线分类和多核算法[D];复旦大学;2007年

5 付风云;半（次）黎曼流形上的共形和射影映射的几何不变性研究[D];南京理工大学;2012年

6 武猛;曲率有下界的黎曼流形[D];南开大学;2009年

7 李奇睿;黎曼流形上的一些曲率问题[D];浙江大学;2014年

8 王湘美;黎曼流形上次梯度算法的收敛性及其应用[D];浙江大学;2014年

9 吴国强;光滑度量空间上的几何与分析[D];中国科学技术大学;2014年

10 郭希;黎曼流形上曲率泛函的变分问题[D];清华大学;2013年

相关硕士学位论文 前10条

1 朱斌;黎曼流形上Lipschitz函数的光滑化[D];南京大学;2018年

2 张倩玉;广义调和映射和调和形式的相关问题[D];信阳师范学院;2017年

3 焦蕾;次黎曼流形上的几类变换[D];南京理工大学;2005年

4 肖刚;黎曼流形上微分动力系统的几何结构[D];新疆师范大学;2004年

5 王旭升;黎曼流形上的正交联络及一些结果[D];武汉大学;2017年

6 李凯鹏;黎曼流形在正交联络下的若干结果[D];武汉大学;2017年

7 陈力伟;黎曼流形上具负指数项抛物型方程的梯度估计[D];闽南师范大学;2016年

8 陈凡;黎曼流形上的特征值问题和椭圆型方程解的梯度估计[D];闽南师范大学;2014年

9 王南珏;一类紧致黎曼流形的特征值问题研究[D];浙江大学;2010年

10 陆亚哲;正曲率黎曼流形拓扑结构的研究[D];西南交通大学;2012年

本文编号：2815508