与Eulerian多项式相关的多项式的性质

发布时间：2020-09-16 06:50

　　 Eulerian多项式一直是计数组合学中的活跃课题.自Eulerian数的提出到发生函数理论的完善,Eulerian多项式的很多性质已经被深入研究,例如其系数的γ-正性,单峰性,对数凹(凸)性,Spiral性,渐近正态性;其递推关系,实零点性等;其序列的指数发生函数,强q-对数凸(凹)性,q-Stieltjes moment性(简称q-SM)等.随后与Eulerian多项式相关的多项式,例如B,D类型的Eulerian多项式,仿射类型的Eulerian多项式,错排多项式等也被广泛研究.因此Eulerian多项式以及相关多项式的性质在计数组合学中具有重要的地位.此外,我们了解到三类与Eulerian多项式相关的多项式的部分性质.第一类是圈错排多项式,其实际上是错排多项式的推广,在一定的限制条件下,分别等价于A,B类型的错排多项式.Steingr′?msson已经给出了圈Eulerian多项式的定义,并且通过组合方法得到圈Eulerian数的递推关系.我们通过圈Eulerian多项式的性质来研究了圈错排多项式的性质.第二类是r-错排多项式,其是错排多项式的推广,在一定条件下,等价于错排多项式.王琛颖等已经给出了r-错排数的递推关系以及指数发生函数.在此基础上,我们定义了r-错排多项式.通过r-错排多项式的性质可以进一步地研究错排多项式的性质.第三类是binomial-Eulerian多项式.Eulerian多项式经过二次项变换得到binomial-Eulerian多项式.Shareshian等已经给出binomial-Eulerian多项式的定义,γ-正性,单峰性.在学者们研究的基础上,我们做了进一步的研究.具体内容如下:第一部分我们通过圈Eulerian数的递推关系以及圈Eulerian多项式的定义,给出圈Eulerian多项式的递推关系.后来通过对比圈Eulerian多项式与圈错排多项式的定义,我们发现了它们之间的明确关系式.在此基础上,我们得到圈错排多项式的递推关系,从而证明其实零点性.然后通过圈错排多项式实零点性以及Lyapunov定理,我们得出圈错排多项式系数的渐近正态性和spiral性.第二部分我们通过r-错排数的理论知识以及r-错排的weak excedance的统计量,定义了r-错排多项式.再由r-错排数的组合意义以及递推关系,得出r-错排多项式的递推关系.最后通过错排多项式的指数发生函数,得出r-错排多项式的指数发生函数.第三部分我们由Eulerian多项式的递推关系及指数发生函数,得到binomialEulerian多项式的递推关系及指数发生函数.通过Eulerian多项式是强q-对数凸的,q-SM的,我们得到binomial-Eulerian多项式也是强q-对数凸的,q-SM的.
【学位单位】：曲阜师范大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O174.14

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本文编号：2819537