几类随机系统的稳定与采样控制

发布时间：2020-09-21 17:56

　　众所周知,随机系统在科学,金融,物理和工程等领域的许多分支中都发挥着至关重要的作用,世界上的许多专家学者都致力于研究随机系统的各种性质.特别的,稳定性和采样控制理论是随机系统极其重要的性质,一直以来也是非常有趣且重要的课题.目前虽然已经有大量的文献在研究这个课题,但是仍然有许多没有解决的难题,特别是采样控制理论,在随机系统的稳定化问题中是最新的研究成果,但是由于时滞带来的巨大困难,采样控制理论还没有广泛的应用于随机时滞系统.因此,在本论文中,我们主要考虑四类随机系统:非线性混杂随机热方程,Sobolev类型的随机中立型泛函微分方程,带变时滞和分布时滞的随机系统,以及带时滞的随机控制动力系统的稳定性与采样控制研究.具体内容如下:一、非线性混杂随机热方程我们考虑了一类非线性混杂随机热方程(也称为带马尔可夫链的随机热方程)在无限维状态空间的指数稳定性问题.不同于传统文献,我们将马尔可夫链的状态空间从有限维推广到无限维,并适当放宽对马尔可夫链的限制(比如不再限制马尔可夫链是不可约的),这使得传统文献中通过平稳分布来计算解的Lyapunov指数的方法不再适用,我们通过不动点定理很好的克服了这个困难,不仅获得了方程温和解(mild解)的存在性,唯一性和p阶矩指数稳定性,还结合Gronwall不等式获得了方程解的Lyapunov指数,推广了该方程模型在物理工程中的应用.二、Sobolev类型的随机中立型泛函微分方程我们研究了一类带Poisson跳的Sobolev类型的随机中立型泛函微分方程.相比较于传统的Lipschitz条件,我们给出了更弱的非Lipschitz条件,并在两类不同的合理假设下,分别运用Leray-Schauder alternative理论和Sadakovskii不动点定理建立了mild解的存在性.又基于Bihari不等式,我们证明了解的Osgood类型的唯一性.此外,运用Gronwall不等式,我们探究了方程的均方指数稳定性,将连续型随机微分方程的相关结论推广到不连续的情形,更推动了这一类方程的发展.三、带变时滞和分布时滞的随机系统我们探究了一类带变时滞和分布时滞的随机系统的均方指数稳定性.为了克服传统文献中对变时滞的诸多限制,如要求变时滞连续可导且导数有界等,我们基于著名的Perron-Frobenius定理和Ito公式,在只要求变时滞有界的情况下,运用反证法探究了这类随机系统的均方指数稳定性.在系统保持稳定的前提下还得到了变时滞的最优上界,大大减少了传统文献对变时滞的限制.此外,我们还举例说明此类随机系统在神经网络上的应用.四、带时滞的随机控制动力系统在这部分,我们首先考虑了一类带常数时滞的随机控制动力系统,我们构造了线性反馈控制实现了该系统的均方指数稳定性和依概率指数稳定性.此外,我们还结合数值算例和仿真图象来验证我们的结论.其次,我们研究了由随机泛函微分方程刻画的随机时滞系统的均方指数稳定化问题.不同于传统的基于对状态连续观测而设计的反馈控制,我们根据对状态的离散观测和时间延迟提出了一种新的采样反馈控制来实现随机时滞系统的稳定化.这极大的提高了为随机时滞系统找到离散反馈控制的可能性,而且这种新的采样反馈控制能够成功的处理随机泛函微分方程中的时滞问题.相比较传统的连续反馈,我们提出的采样反馈能够更好的节省成本,人力,物力,也能更符合实际物理工程应用.最后,我们讨论了一类带有采样输出的非线性随机时滞系统的稳定化问题.为了减少传统文献中由时滞带来的误差,我们引入了观测器,并在此基础上设计了相应的预测器.进一步,为了解决输入测度和采样测度不一致的问题,我们基于交叉采样预测,观测,预测,控制机制,并结合采样数据和预测器,构造了一类新的采样预测反馈控制来实现该系统的稳定化.这类新的反馈控制可以提高对将来状态的预测精度,使预测器与真值状态之间的误差渐近收敛。
【学位单位】：南京师范大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O211.63
【部分图文】：

均方,上界,结论

程—４．００１３邋＋邋（３邋＋邋ｆ２）ｅ５ｆ邋＝邋－５来获得ｒ的最优上界．逡逑令Ｔｉ⑷＝Ｔ２（ｉ）邋＝邋０．６ｅ＿ｔ，邋ｒ（ｉ）邋＝邋０．２ｓｉｎ⑷邋＋邋０．４邋以及ｆ邋＝邋０．６，我们给出仿真逡逑图４－１来验证我们的结论．逡逑０．４．邋ｊ逦Ｌ—．—邋１．逡逑０．３５邋■邋ｉｉ逦■逡逑■逦°ｉ＼逡逑Ｑ２Ｓ邋ｉｆ邋，逦■逡逑０２邋■邋Ｉ逡逑０．１５邋？邋Ｉ逡逑ｏ．ｉ邋？丨逦？逡逑０－０５邋■邋Ｌ邋Ｌ逦■逡逑0．邋逦逡逑＂°＇0５0逦１逦２逦３逦４逦５逦６逡逑图４－１邋Ｅｑ．邋（４．３．１）解的均方数值模拟．逡逑－５５－逡逑

仿真模拟,均方指数稳定,指数稳定,不等式

邋／ｊ邋＝邋１．５，，我们可以估计不等式（５．１．２）式的左端为－３．１５６１邋＜邋０．逡逑根据定理５．１．１，可知Ｅｑ．邋（５．１．１）的解是均方指数稳定的，也是依概率指数稳定逡逑的．选取初值ｘ0邋＝邋（０．３，邋－０．３），仿真图５－１也验证了我们的结论．逡逑－６２－逡逑

均方,图象,均方指数稳定,得出结论

的条件成立．因此，由定理５．２．１，我们可以得出结论：Ｅｑ．邋（５．２．１３）在采样反馈Ｆ逡逑下是均方指数稳定的．运用Ｍａｔｌａｂ，我们画出了Ｅｑ．邋（５．２．１３）以及相应不带控制逡逑的系统解的均方图（分别见图５－２和图５－３）．采样反馈Ｆ的仿真图象也在图５－４逡逑中给出．逡逑４（逦．逦．逦．逦邋■逦—￣逡逑Ｌ１逦Ｅｉ＾ｄ））邋１逡逑－逡逑■逡逑－逡逑－逡逑０（－邋＂逡逑￣°＇５0逦２逦４逦６逦８

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