若干矩阵不等式及其在量子不确定性理论中的应用

发布时间：2020-09-24 21:39

　　本文研究了半正定(分块)矩阵、压缩矩阵、扇形矩阵,获得了一些酉不变范数不等式、矩阵均值不等式以及行列式不等式.最后研究了矩阵不等式在量子信息理论中的应用-量子不确定性关系.本文的主要工作如下:1.利用舒尔补(Schur Complement),正偏转置(PPT)以及优超(Majorization)不等式证明了 Haya.jneh和Kittaneh[47]提出的一个猜想,间接地解决了 Bourin[8]提出的问题.2.Lin和Zhou在文献[72]中研究了增生-耗散矩阵的Hilbert-Schmidt范数以及酉不变范数不等式,他们的其中一个结果是比较增生-耗散矩阵与它的对角块的和的酉不变范数的大小,利用优超(Majorization)理论把上述结果推广到扇形矩阵,得到一些酉不变范数不等式.3.Choi[25]证明了关于正定矩阵的反向Fischer型行列式不等式,利用舒尔补理论首先对Choi的反向Fischer型行列式不等式给出一个不同的证明,接着给出该不等式的一个模拟,即涉及到Hadamard积的反向Fischer型行列式不等式.4.推广华行列式不等式[64],得到一个广义的Holder类型的特征值不等式,该不等式也是Marcus[94]结果的推广.5.Brunn-Minkowski不等式是最重要的几何不等式之一,它有很多的推广和应用,Ky Fan[34]对该不等式给出一种推广,Yuan和Leng[77]进一步推广了此不等式.Yuan和Leng的原始证明看起来非常冗长.首先应用Bellman不等式对Yuan和Leng的主要结果给出一个简单证明.接下来,把Brunn-Minkowski不等式推广到一类矩阵情形,这类矩阵的数值域包含在一个给定的扇形区域内,有时也称这类矩阵为扇形矩阵.6.证明了扇形矩阵的算子几何-调和均值不等式,应用此均值不等式,得到一些关于扇形矩阵的奇异值不等式和酉不变范数不等式.7.把Mond和Pecaric[92]的关于混合的算术均值-几何均值(AM-GM)以及几何均值-调和均值(GM-HM)不等式推广到扇形矩阵.8.量子不确定性原理是量子力学的一个基本原理,该原理描述了任何观测值不能同时观察两个非对易的可观测量.把Ko和Yoo[60]所获得的一个不确定性关系推广到非厄米特性(Non-Hermitian)情形,所得结果包含许多已有结果.
【学位单位】：上海大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O151.21

【参考文献】