计算单位圆上一类偏微分方程多解的分歧方法

发布时间：2020-09-26 20:12

　　本文讨论一类非线性椭圆型方程Neumann边值问题定常多解,主要分为两部分:首先研究圆形区域上Schr(?)dinger方程的多解问题,其方程如下:其中?是单位圆域,ε0,p1,λ∈R,κ∈R和l≥0是给定的参数.首先利用对称破缺分歧理论和混合Fourier-Legendre拟谱方法计算出单位圆域上方程(0.1)的非平凡解,之后由相应非线性问题的非平凡解枝出发,分别取方程(0.1)中λ,ε或l作为分歧参数,利用延拓方法得到方程(0.1)的O(2)对称正解枝.延拓的过程中,发现潜在的分歧点,通过建立扩张系统,精确计算出在该解枝上的对称破缺分歧点.因为科学工作者更关注的是方程的正解,我们利用基于Liapunov-Schmidt约化的解枝转接方法,计算出单位圆域上方程(0.1)具有不同对称性的多个正解.最后,给出该区域上方程(0.1)正解的对称破缺分歧图.第二部分主要研究单位圆域上Concave-convex系统的定常多解问题,其形式如下:其中0q1p,λ∈R,μ∈R和l≥0是给定的参数.基于Liapunov-Schmidt约化和对称破缺分歧理论,我们利用混合Fourier-Legendre谱和拟谱方法计算出在单位圆域上方程(0.2)的多个非平凡解.由相应非线性问题的非平凡解枝出发,同样分别取方程(0.2)中λ或μ作为分歧参数,利用延拓方法,得到方程(0.2)的O(2)对称正解.延拓的过程中,发现潜在的分歧点,通过建立扩张系统,可以在该解枝上找到对称破缺分歧点.通过基于L-S约化的解枝转接方法,计算出具有不同对称性质的正解.给出了该区域上方程(0.2)的对称破缺分歧图.数值结果表明我们这些方法是有效的.最后,全文进行总结和展望.
【学位单位】：上海师范大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175.2
【文章目录】：
摘要
abstract
第1章引言
第2章计算Schr(?)dinger方程的多解
    2.1 计算圆形区域上Schr(?)dinger方程多解的分歧方法
        2.1.1 方程的等变性质和对称破缺分歧
        2.1.2 分歧方法算法过程
        2.1.3 混合Fourier-Legendre谱和拟谱格式
            2.1.3.1 .基础知识
            2.1.3.2 .数值计算特征方程的混合Fourier-Legendre谱格式
            2.1.3.3 .数值计算延拓方程的混合Fourier-Legendre拟谱格式
        2.1.4 数值结果
    2.2 计算圆形区域上Schr(?)dinger方程多个正解的分歧方法
        2.2.1 O(2)对称正解枝的计算
            2.2.1.1 .用λ延拓计算O(2)对称正解枝
            2.2.1.2 .用l延拓计算O(2)对称正解枝
            2.2.1.3 .用ε延拓计算O(2)对称正解枝
        2.2.2 O(2)对称正解枝上对称破缺点的计算
            2.2.2.1 .用λ延拓计算O(2)对称正解枝上对称破缺点
            2.2.2.2 .用l延拓计算O(2)对称正解枝上对称破缺点
            2.2.2.3 .用ε延拓计算O(2)对称正解枝上对称破缺点
        2.2.3 Σ对称解枝的转接
            2.2.3.1 .λ延拓时方程Σ对称解枝的转接
            2.2.3.2 .l延拓时方程Σ对称解枝的转接
            2.2.3.3 .ε延拓时方程Σ对称解枝的转接
        2.2.4 数值结果
第3章计算Concave-convex系统的多解
    3.1 计算圆形区域上Concave-convex系统多解的分歧方法
        3.1.1 方程的等变性质
        3.1.2 分歧方法算法过程
        3.1.3 延拓方程的混合Fourier-Legendre谱格式
        3.1.4 数值结果
    3.2 计算圆形区域上Concave-convex系统多个正解的分歧方法
        3.2.1 O(2)对称正解枝的计算
            3.2.1.1 .用μ延拓计算O(2)对称正解枝
            3.2.1.2 .用λ延拓计算O(2)对称正解枝
        3.2.2 O(2)对称正解枝上对称破缺点的计算
            3.2.2.1 .用μ延拓计算O(2)对称正解枝上对称破缺点
            3.2.2.2 .用λ延拓计算O(2)对称正解枝上对称破缺点
        3.2.3 Σ对称解枝的转接
            3.2.3.1 .μ延拓时方程Σ对称解枝的转接
            3.2.3.2 .λ延拓时方程Σ对称解枝的转接
        3.2.4 数值结果
第4章结论与展望
参考文献
致谢

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