若干分形集的Hausdorff维数和密度

发布时间：2020-09-27 13:00

　　 本文主要探讨了点在不同基下的关系,β-动力系统和Cantor测度的点密度.我们计算了相关分形集的Hausdorff维数和点密度.本文分为六章.第一章介绍了分形几何及本文主要问题的相关背景.第二章为预备知识,其中包括Hausdorff维数的定义和一些性质,以及本文中相关问题的所需要的预备知识.接下来的三个章节,我们分别对上述三个方面的内容进行详细讨论.在第三章中,我们考虑了Furstenberg's猜想维数形式的问题.具体介绍Fursten-berg猜测的具体内容.我们知道Furstenberg's猜想对于几乎所有(Lebesgue测度意义下)的实数都成立,因为几乎所有的实数关于所有的整数都是正规的,因此,一个自然的问题是：除了正规数以外,我们是否可以找到一些实数使得它成立呢?本文中我们具体构造出了一类非正规数使得下列维数公式成立.具体地说,我们证明了满足的非正规数x∈[0,1)所构成的集合是一个Hausdorff满维集.在第四章中,我们考虑了任意点x∈(0,1]的β展式的性质,我们证明对于任意x1∈(0,1],x0∈[0,1]和任意区间(β0,β1)c(1,∞),使得(β0,β1)(?)(1,∞)中在Tβ变换下x1的轨道不以x0为聚点的β构成的集合是Hausdorff满维的.即我们所得的结论推广了维数的结果,完善了Schmeling在测度意义下的理论.在第五章中,我们在一定条件下,获得了对称Cantor集上关于Cantor测度的点态密度的公式.具体地说：设E(a)为压缩比为0的对称Cantor集,本文在学0≤(?)的情况下,对于任意点x∈E(0)给出了(?)*s(μ,z)的公式.我们所得到的结论丰富了Feng的结果.在最后的第六章中,我们总结了本文的主要结果,然后又针对每一个结果提出了一些可以进一步研究的问题.
【学位单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2016
【中图分类】：O189
【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 分形几何
    1.2 b-进制展式
    1.3 β-动力系统
    1.4 Cantor测度的点密度
2 预备知识
    2.1 Hausdorff测度与Hausdorff维数
    2.2 b-进制展式
    2.3 β-展式与β-动力系统
    2.4 Cantor测度的点密度
3 一个关于点在不同基下轨道都稠密的维数结果
    3.1 一些记号
    3.2 Cantor集的构造
    3.3 主要定理的证明
4 β-动力系统中轨道的逼近性质
    4.1 基本事实
    4.2 主要定理的证明
5 Cantor测度的点态密度
    5.1 相关定义与记号
    5.2 主要结果
    5.3 基本事实
    5.4 估计(μ(B(x,r))/(2r)~s的值
    5.5 主要结果的证明
6 结论
    6.1 b-进制变换
    6.2 β-动力系统中轨道的逼近性质
    6.3 Cantor测度的点密度
致谢
参考文献
附录1 攻读学位期间发表论文目录
附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目

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本文编号：2827910