关于牛顿和库伦相互作用的布朗粒子系统的混沌传播

发布时间：2020-09-30 12:08

　　本文研究空间Rd(d≥2)中具有牛顿和库伦相互作用的布朗粒子系统的混沌传播间题,主要内容由三部分组成。第一部分考虑具有牛顿相互吸引作用的随机N-粒子系统。假设N个粒子的初始状态独立同分布,其共同的分布密度函数为po∈L∞(Rd)∩L1(Rd,(1+│x│)dx)。在截断系数为s～(lnN)-1/d的条件下,本文严格证明了：(a)光滑化粒子系统的混沌传播且相应的平均场极限方程为Keller-Segel方程。(b)Keller-Segel方程弱解的Yudovich型唯一性和Wasserstein距离下的稳定性。(c)当空间维数d=2时,如果8πv1,则混沌传播是全局的；而若8πv1,则粒子之间的碰撞时间的期望值不大于2πVar{X01}/1-8πv。当d≥3时,如果ρ0(x)的Ld/2模小于给定的常数,则混沌传播是全局的。第二部分提出了Keller-Segel方程的数值算法。首先引入随机粒子blob方法。然后利用第一部分Keller-Segel方程弱解在Wasserstein距离下的稳定性结论,严格地证明了这一算法的收敛性。第三部分考虑具有库伦相互排斥作用的随机N-粒子系统。假设初始粒子几乎处处不碰撞,本文证明了在其后的任意时刻,粒子也几乎处处不碰撞(这是由于库伦位势的正性,因此无需光滑截断粒子系统),从而得到上述粒子系统的适定性。进一步,对d=2的情形,假设初值独立同分布,其共同的分布密度函数为po∈L∞(Rd)∩L1(Rd,(1+│x│2)dx),本文严格证明了此粒子系统的混沌传播且相应的平均场极限方程是Poisson-Nernst-Planck(PNP)方程。
【学位单位】：清华大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O211.6
【文章目录】：
摘要
Abstract
主要符号对照表
第1章引言
    1.1 选题背景及意义
    1.2 研究现状
        1.2.1 混沌传播
        1.2.2 Keller-Segel方程
        1.2.3 Poisson-Nernst-Planck方程
    1.3 研究内容及方案
        1.3.1 Keller-Segel方程的混沌传播
        1.3.2 Keller-Segel方程的随机blob方法
        1.3.3 Poisson-Nernst-Planck方程的混沌传播
    1.4 论文结构安排
第2章基本知识
    2.1 混沌传播的定义
    2.2 Wasserstein空间和Kantorovich-Rubinstein距离
    2.3 光滑算子和Osgood引理
    2.4 关于鞅及其基本不等式
第3章 Keller-Segel方程的混沌传播
    3.1 引言及主要结果
    3.2 预备知识及主要引理
    3.3 非线性随机微分方程和Keller-Segel方程的适定性理论
        3.3.1 光滑化的非线性随机微分方程和光滑化的Keller-Segel方程解的存在唯一性
        3.3.2 光滑化随机微分方程解的L∞(Rd)模的一致估计
        3.3.3 非线性随机微分方程和Keller-Segel方程解的存在唯一性
    3.4 Keller-Segel方程的稳定性
    3.5 平均场极限和混沌传播
        3.5.1 粒子之间的碰撞
        3.5.2 定理3.1.3的证明
        3.5.3 平均场极限和混沌传播
第4章 Keller-Segel方程的随机blob方法
    4.1 引言及主要结果
    4.2 预备知识及主要引理
    4.3 收敛性分析
        4.3.1 轨迹收敛
        4.3.2 随机blob方法的收敛性
    4.4 实用算法和收敛性分析
第5章 Poisson-Nernst-Planck方程的混沌传播
    5.1 引言及主要结果
    5.2 预备知识及主要引理
    5.3 维数d ≥ 2的N-粒子系统的适定性
    5.4 胎紧和相容性
    5.5 混沌传播
第6章结论
    6.1 论文主要工作总结
    6.2 研究发展趋势
        6.2.1 Keller-Segel方程的随机粒子系统
        6.2.2 维数d ≥ 3的Poisson-Nernst-Planck方程的混沌传播
        6.2.3 具有奇异势的粒子系统的平均场极限
参考文献
致谢
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果

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