高初始能量下几类发展方程解的有限时间爆破

发布时间：2020-10-02 09:36

　　对于发展方程,一旦建立了解的局部存在性结果,一个自然的问题随之而来:解是否整体存在?如果解的最大存在时间(记为T~*)有限,通常情况下这个解的某种范数在生命跨度[0,T~*)内无界,也就是说,这个解在有限时间内爆破.本文利用势阱方法、Levine的凹性方法、微分不等式技巧和临界点理论等给出在高初始能量假设下几类发展方程解在有限时间内爆破的充分条件、生命跨度的估计以及其它相关结论.在第1章,我们介绍了发展方程解的整体存在性和有限时间爆破的研究的历史与现状,回顾了一些常用的研究方法——特别是势阱方法和Levine的凹性方法——的历史与发展,最后给出了全文的结构简介和一些约定、符号.在第2章,我们研究了一类带有可变系数的拟抛物(或抛物)方程的初边值问题.利用势阱方法、Levine的凹性方法以及微分不等式技巧等工具,在初始能量和初始数据的相关假设下,我们给出了解在有限时间内爆破的结果以及爆破时间的上下界估计.特别地,我们还证明,在初始Nehari流形上或任意初始能量高度上,总存在能使解在有限时间内爆破的初值.在第3章,我们研究了在记忆项和非线性源项相互影响下的一类拟抛物方程的初边值问题.利用凹性方法,改进的与时间相关的势阱族方法和一些微分不等式技巧,在初始能量、初始数据、源项指数p和弛豫函数g的相关假设下,我们给出了解在有限时间内爆破的结果以及爆破时间的上界估计.最后我们证明,在任意初始能量高度上,总存在能使解在有限时间内爆破的初值.在第4章,我们考察了一类带有p-Laplace项和非局部源项的薄膜方程的初边值问题.利用喷泉定理、凹性方法和微分不等式技巧,我们证明在任意初始能量高度上,总存在能使解在有限时间内爆破的初值.另外,我们还给出了爆破时间的上界估计.在第5章,我们研究了三维空间中一类带有非线性弱耗散项、超临界源项和指定长时间过去历史的粘弹性波动方程.通过构造特殊的辅助函数以及利用凹性方法,我们得到了高初始能量时解在有限时间内爆破的若干结果.特别地,对于线性弱耗散的情形,我们还给出了爆破时间的上界估计.最后我们证明,在任意初始能量高度上,总存在能使解在有限时间内爆破的初值.在第6章,我们研究了一类带有记忆项、非线性弱耗散项和超线性源项的Petrovsky方程的初边值问题.通过构造特殊的辅助函数,我们证明,在任意初始能量高度上,总存在能使解在有限时间内爆破的初值.对于线性弱耗散的情形,在相对较强的假设条件下我们还给出了另外一个有限时间爆破结果,并且给出了爆破时间的上界估计.
【学位单位】：曲阜师范大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175
【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 研究背景
    1.2 论文结构
    1.3 约定和符号
2 可变系数的拟抛物方程
    2.1 引言
    2.2 预备知识
    2.3 解的有限时间爆破
    2.4 主要结果的证明
        2.4.1 凹性方法
        2.4.2 定理2.3.1的证明
        2.4.3 定理2.3.3的证明
        2.4.4 定理2.3.6的证明
        2.4.5 推论2.3.8的证明
    2.5 有待解决的问题
3 带有记忆项的拟抛物方程
    3.1 引言
    3.2 预备知识
    3.3 势阱族、不变集与真空隔离
    3.4 解的有限时间爆破
0）        3.4.1 （?）（u₀）
        3.4.2 高初始能量时解的有限时间爆破
4 薄膜方程
    4.1 引言
    4.2 预备知识
    4.3 有限时间爆破
5 具有长时记忆的粘弹性波动方程
    5.1 引言
    5.2 预备知识
    5.3 高初始能量下的有限时间爆破结果
    5.4 主要结果的证明
6 Petrovsky方程
    6.1 引言
    6.2 预备知识
    6.3 高初始能量假设下的有限时间爆破
    6.4 有待解决的问题
参考文献
博士期间完成的论文
致谢

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