一类热传导方程源项反演的有限差分方法与收敛性分析

发布时间：2020-10-02 11:17

　　热传导方程的源项识别问题在许多工程应用与科学研究领域中都具有重要的意义.本文主要研究一类重建与时间有关的源项的热传导方程反问题,该反问题旨在由温度场的非局部测量数据来重建与时间有关的源项.基于偏微分方程数值解的有限差分方法,提出了重建源项的四种不同的有限差分格式,给出了格式的收敛性和误差,结合数据的磨光正则化方法,给出了重建源项的稳定化方法.第一章简要介绍了本文的主要研究内容和研究意义.第二章介绍数据的磨光正则化方法,给出了数据磨光后的误差估计.第三章针对一维空间域中的热传导方程,给出了本文的主要研究结果.利用附加的非局部观测数据,基于偏微分方程数值解的有限差分方法,提出了四种有限差分格式来重建热传导方程源项中只与时间有关的未知项,即基于Crank-Nicolson格式、向后欧拉格式、向前欧拉格式的4个反演源项的差分格式,证明了反演差分格式的解的存在唯一性及其收敛性,对于含误差的测量数据给出了源项反演数值解的误差估计.数值算例验证了差分格式的收敛性;结合数据的磨光正则化策略,表明提出的差分格式是有效的.第四章将第三章的研究结果推广到二维空间域中的热传导方程源项反问题上,相应的数值算例表明提出的有限差分格式对高维热传导方程反问题也是有效的.第五章对全文做了些总结和对未来研究进行了展望.
【学位单位】：东华理工大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.82
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第一章引言
    1.1 研究背景及意义
    1.2 国内外研究动态
    1.3 主要研究内容
    1.4 主要框架
第二章预备知识
    2.1 磨光化方法基本思想
    2.2 连续型磨光函数的收敛性分析
    2.3 离散型磨光函数的收敛性分析
第三章一维热传导方程中重建时间依赖源项的有限差分法
    3.1 数值反演差分格式
        3.1.1 Crank-Nicolson格式
        3.1.2 向后欧拉格式
        3.1.3 向前欧拉格式
    3.2 收敛性分析
        3.2.1 Crank-Nicolson格式收敛性分析
        3.2.2 向后欧拉格式收敛性分析
        3.2.3 向前欧拉格式收敛性分析
    3.3 数值算例
第四章二维热传导方程中重建时间依赖源项的有限差分法
    4.1 数值反演差分格式
        4.1.1 Crank-Nicolson格式
        4.1.2 向后欧拉格式
        4.1.3 向前欧拉格式
    4.2 数值算例
第五章总结与展望
    5.1 总结
    5.2 展望
致谢
参考文献
攻读硕士学位期间完成的论文
攻读硕士学位期间参与的科研项目

【参考文献】