非遍历扩散的涨落理论与模拟

发布时间：2020-10-09 00:59

　　 本文主要讨论了经典涨落与稀有涨落及它们之间的区别和联系.我们通过单个的大跳跃原则建立了粒子位置的稀有涨落与粒子等待时间的极限事件之间的联系.此外,构造了描述泛函分布的模型,即向前和向后的Feynman-Kac方程.本文的具体内容如下:论文的第一章给出了这个课题意义及其重要的价值,紧接着介绍了本文的背景.同时介绍了五个相关模型,即更新过程,L′evy飞行,无规则连续游走,老化无规则游走,L′evy游走.它简要的介绍了反常扩散模型的相关理论结果.更新过程是一个描述粒子在时间轴上随机发生的简单的随机模型,这里假设粒子每次的等待时间是相互独立且同分布的.从光子到达理论到排队理论,这个理想的方法具有很多的应用.为了描述极限事件,常用的描述大偏离理论不再适用,必须引入新的方法.本章考虑了粒子发生次数,向前等待时间,向后等待时间,穿过时间t的等待时间,占有时间的稀有涨落和经典涨落.我们通过非归一化密度函数描述了这些极限事件并且展示了如何通过极限定律求出对应的分数阶阶矩.此外,还分别通过理论和模拟结果证明了本文考虑的观测量的稀有涨落不再是描述经典涨落的arcsine分布,Dynkin分布,Darling-Kac分布,L′evy分布和Lamperti分布.接着考虑有偏的连续无规则行走模型.由一系列跳跃步长和等待时间组成的连续无规则游走是描述反常扩散的常用模型.通过解析的方法,我们求得描述粒子稀有涨落的非归一化密度函数,同时这些密度函数决定粒子高阶矩的渐近行为.然后求得了一个更为一般的描述经典涨落的归一化密度函数,并且从中观测到了粒子的传播函数从Gaussian分布到L′evy统计的渐变.此外,我们构造了描述经典涨落的Fokker-Planck方程,并且分析了参数怎样影响Fokker-Planck的解.最后基于单个大跳跃原则,我们构建了粒子位移的稀有涨落与粒子等待时间之间的关系.在第四和五章中,我们分析了(老化)连续无规则游走模型的泛函分布,并且求得对应的老化向前和向后的Feynman-Kac方程.然后基于所求的理论,分析了占有时间的阶矩,涨落和首次通过时间的分布.接着进一步考虑更为复杂的情形,即预先给定的函数显示依赖于粒子位移x(t)和观测时间t.同时,还分析了外力对于泛函分布的影响.在每一章的末尾,我们给出了理论和模拟结果的总结和讨论.在第六章给出了本文的总结和展望.此外,我们通过数值实验验证了本文所求理论结果的正确性.
【学位单位】：兰州大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O177.99
【文章目录】：
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英文摘要
第一章 绪论
    1.1 研究背景和意义
    1.2 反常扩散研究现状
    1.3 本文主要研究内容、方法和创新点
    1.4 本文结构安排
    1.5 附录A:相关模型
        1.5.1 更新过程
        1.5.2 L′evy飞行
        1.5.3 连续无规则游走
        1.5.4 老化连续无规则游走
        1.5.5 L′evy游走
第二章 分数阶更新过程的涨落理论
    2.1 背景介绍
    2.2 更新过程模型
    2.3 发生次数
        2.3.1发生次数,0
        2.3.2发生次数,1
    2.4 向前等待时间
        2.4.1向前等待时间,0
        2.4.2向前等待时间,1
    2.5 向后等待时间
        2.5.1向后等待时间,0
        2.5.2向后等待时间,1
    2.6 穿过时间t对应的等待时间
        2.6.1穿过时间t对应的等待时间,0
        2.6.2穿过时间t对应的等待时间,1
    2.7 占有时间
        2.7.1占有时间,0
        2.7.2占有时间,1
    2.8 正负区域时间差,M=T+?T?
        2.8.1正负区域时间差,0
        2.8.2正负区域时间差,1
    2.9 总结和讨论
    2.10 附录B:补充内容
        2.10.1 随机变量生成
        2.10.2 本章的一些重要公式
        2.10.3 L′evy分布的一些性质
        2.10.4 Hypergeometric函数
1'>        2.10.5 向前等待时间阶矩α>1
        2.10.6 占有时间T+的渐近行为
        2.10.7 α
第三章 有偏连续无规则游走
    3.1 背景介绍
    3.2 连续无规则游走
    3.3 经典涨落的极限与稀有涨落
    3.4 对各种a,σ和t均成立的经典涨落
    3.5 Fokker-Planck方程
    3.6 单个大跳跃原则
    3.7 分数阶矩
    3.8 小结
    3.9 附录:分数阶微分和积分
        3.9.1 Gr¨unwald-Letnikov微分
        3.9.2 Riemann-Liouville分数阶微分
        3.9.3 Weyl分数阶微分
        3.9.4 物质导数
        3.9.5 分数阶微分的Laplace变换
第四章 老化的Feynman-Kac方程
    4.1 背景介绍
    4.2 老化的向前Feynman-Kac方程
        4.2.1 离散的跳跃步长
        4.2.2 连续步长的情形
            4.2.2.1 幂律等待时间
            4.2.2.2 退火幂律分布
    4.3 向后Feynman-Kac方程
        4.3.1 离散的跳跃步长
        4.3.2 连续步长的情形
    4.4 应用
        4.4.1 占有时间
        4.4.2 占有时间的涨落
        4.4.3 首次通过时间
    4.5 小结
第五章 非自治的Feynman-Kac方程
    5.1 介绍
    5.2 离散的跳跃步长
    5.3 连续的跳跃步长
    5.4 有外力场的情形
        5.4.1 外力与时间t无关
    5.5 外力与时间有关
    5.6 小结
第六章 总结与展望
    6.1 总结
    6.2 展望及未来工作
参考文献
在学期间的研究成果
致谢

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