基于分数阶方程的MRI模型研究

发布时间：2020-10-10 07:30

　　 通过分数阶微积分这一来源已久的工具,我们可以拓展整数阶导数到任意阶导数。MRI是当今临床诊断中常用的成像技术,其中在MR的衰减信号的建模中最关键的模型以Bloch方程组为基础。在某些组织器官中,MR信号的衰减受水分子的扩散运动影响很大,使用Bloch方程组不能很好地描述信号的衰减。此时可以在Bloch方程组的基础上加上Torrey扩散项进行建模,改进后的方程组一般被称作为Bloch-Torrey方程组。为了能够获得更加准确的医疗图像,已经有研究者将Bloch方程组以及Bloch-Torrey方程组从经典的整数阶向分数阶的拓展,并且通过许多研究表明了无论是Bloch方程组或是Bloch-Torrey方程,基于分数阶方程的模型与基于整数阶方程的模型存在差异,并且这些差异很可能为更加准确MRI成像提供新的思路以及对应的理论基础。本文主要涉及两个研究内容,分别是对分数阶Bloch方程组的数值解的研究,与对分数阶Bloch-Torrey方程组的数值解的研究。首先,介绍了两个用在分数阶偏微分方程数值求解中的有限差分格式,其次,利用这两个格式对分数阶微分方程组进行数值求解。再次,我们利用QTT分解改写这两个数值格式,推导出求解分数阶Bloch方程组以及分数阶Bloch-Torrey方程组的QTT格式。最后,我们通过一系列数值实验,重点基于空间上达到二阶精度的格式,考察了分数阶Bloch方程组数值解以及分数阶Bloch-Torrey数值解的表现。本文的创新之处在于利用了QTT格式对分数阶Bloch方程组进行数值求解,以及推导了二维分数阶Bloch-Torrey方程组的数值格式,并对一维情形做了数值模拟。
【学位单位】：华东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.8
【部分图文】：

图 7.1 My 关于 Mx 的散点图散点图中，红点表示通过式 (7.1) 算出的精确解，蓝点表示通过 QTT 格式计算的数值解。从这三个散点图中，我们可以看到，随着 的减少，横向磁化矢量xy的衰减速度加快。当 时，xy的衰减速度较慢，而当 时，在时间方向上的第一步迭代y就已经从初始值 1 衰减到 0.1 以下。此外从散点图上我们直观地看见当 时数值解与精确解基本吻合，而当 与时，数值解与精确解在开始时差别较大，但随着时间层的增加，二者吻合程度逐渐提高。通过表7.11或者图7.1，我们可以看到，当 以及 时，数值结果的最大绝对误差出现在第一步迭代中。出现这个现象的原因很可能是当 取值较小的时候，xy迅速衰减。我们知道分数阶方程的数值解依赖于所有历史解，所以在第一步迭代中因为所使用的历史解信息最少，只有初始条件，因此导

图 7.2 My 关于 Mx 的散点图7.3分数阶Bloch-Torrey方程数值求解例 7.5 为了讨论 和 对分数阶 Bloch-Torrey 方程组解的影响。我们考虑如下分数阶方程组的求解。它是 (6.21)-(6.21) 的简化，这里忽略了式中的 以及 。设 ，C αtx z y βxC αty z x βy其中初始条件为x，y。边界条件选择零 Dirichlet 边界条件，即x x y x。设参数 ， ， 。 ， 。在数值格式(6.25)中，我们固定 ， 分别取 。再取 ，

关于x的变化。结果如图7.3所示。从结果中，我们可以看到，随着 的减小，横向磁化矢量xy的衰减越慢。图 7.3 探究 β 变化对磁化矢量衰减的影响接下来，我们固定 ， 分别取 为 ， ， 。同样地，我们观察格点观察 中y关于x的变化。结果如图7.4所示

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本文编号：2834917