Brunn-Minkowski型不等式及相关压缩感知问题研究

发布时间：2020-10-17 08:08

　　 本论文研究的内容属于压缩感知和凸几何分析,这两个方向存在紧密关系,尤其在集中不等式方面的研究尤为突出,并且他们在图像处理,信息论和分析学等领域有广泛的应用.本文主要致力于相位复原问题和Brunn-Minkowski型不等式的研究,这是压缩感知理论和Brunn-Minkowski理论研究的热点问题之一,内容涉及相位复原问题,对偶Lp-Brunn-Minkowski理论中的一个极值问题,Orlicz差体以及径向Blaschke-Minkowski同态.从组合优化到物理科学,相位复原在衍射成像、X射线晶体学以及电子显微镜等领域都有着十分广泛的应用.因此我们考虑相位复原问题:该问题可表示为yi=|ai,x|2,i=1,2,…,m,其中yi是已知的数据,ai∈Rn是已知的设计向量以及x ∈ Rn是未知的.在第二章,对于该问题我们引入一个具体的算法:牛顿算法.简而言之,获得一个好的初始值基于截断谱方法,更新迭代采用牛顿迭代步.我们证明了该算法在实数情况下具有二阶收敛速度,并且对于大残量问题也成立.本文在第三章研究了保体积仿射变换下的最大p-对偶表面积(0pn).并证明了,在假设1下,凸体的p-对偶表面积在仿射变换下达到最大当且仅当该凸体的p-对偶表面积测度在球面Sn-1上是迷向的,对于p-对偶表面积迷向凸体我们给出了相关结果,同时也得到了等周不等式及其相关性质.估计特殊凸体(如差体或者反射体)的体积是非常重要的,其中经典的不等式就是关于差体的Rogers-Shephard不等式.受Hernandez Cifre和Yep-es Nicolas在[64]启发,第四章的兴趣在于是否存在一个常数cφ,n0(仅依赖于维数n和φ),使得V([K+φ(-K)]*)/V(K*)有界?对上述问题我们给出否定的回答.并且给出了极体的Brunn-Minkowski型不等式.截面体对解Busemann-Petty问题起到至关重要的作用.Schuster在[97]引入了径向Blaschke-Minkowski同态,它是更一般的截面体算子.随着Orlicz-Brunn-Minkowski理论的发展,第五章在Orlicz空间下,我们确立了关于径向Blaschke-Minkowski同态的Brunn-Minkowski型不等式.最后我们也得到了一个体积差函数的Brunn-Minkowski型不等式.
【学位单位】：上海大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O178
【部分图文】：

图２．４．１?（ａ），（ｂ）和（ｃ）分别是ＷＦ，ＴＷＦ以及拟牛顿法５次迭代后的恢复图??像??

ＴＷＦ．其中ＷＦ，ＴＷＦ己经恢复３２０Ｘ１２８０像素大小的斯坦福主要四??彩色图像．对每一种的着色板和衍射图样，Ｌ＝２１随机模式的生成集编码的??衍射图案，然后恢复原始图像．图２４．１（ａ）－（ｃ）是５次ＷＦ，ＴＷＦ和拟牛顿法??迭代后恢复结果，其分别的相对误差为１．４１３６１７，?０．１２４６３０和０．０１４０２５．可以看??出，拟牛顿方法恢复图像要比ＷＦ，ＴＷＦ方法好，他们都需要更多的迭代获??得图像的满意恢复．??结合拟牛顿法和梯度下降法的优点，我们采用混合算法丨３礼即根据每??次迭代实验的结果而决定采用拟牛顿法还是最速下降法．要求的准则为??ｆ（＾ｋ）?－?ｆ（ｘｋ＋ｉ）?＞?ｉｆ（ｘｋ），?ｔ?ｅ?（０，１）．??如果满足上述不等式，迭代采用拟牛顿法，否则使用最速下降法．一般ｔ?＝??０．２．这里我们先用混合算法与ＴＷＦ和拟牛顿算法进行比较，对上述的斯坦福??主要四彩色图像恢复，经过１０次迭代后的相对误差分别为：０．００００９５，?０．０３８５５６??和０．００１２３６．其次我们从傅里叶强度测量（带有Ｌ＝１６个面具的２Ｄ?ＣＤＰ）恢复??真实图像．这个图像（见图２．４．２）是１９２０Ｘ１２８０像素的银河星系．经过１０次??迭代后
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本文编号：2844521