S~2在R~4中的等距嵌入

发布时间：2020-10-17 23:36

　　 黎曼子流形几何的一个较为重要的问题就是等距嵌入问题。随着研究对象的不断深入,Riemann在1868年的就职演讲中提出了Riemannian流形的概念,即带正定度量结构的抽象流形。由此,自然产生的一个问题就是:Riemannian流形是否就是某个欧氏空间具有诱导度量的子流形,也就是等距嵌入的存在性问题。此外,等距嵌入中还有很多其他的性质,比如开性。这些都对等距嵌入的求解过程起到关键的作用。本文,主要研究了 S2在R4中的等距嵌入问题。首先,将四维欧式空间的问题转化到三维的warped内积空间上,证明其开性。在Li-Wang[1]证明的基础上,加上星形条件,给出开性定理的另一种证明方法。这里关键是找出了所需的线性化方程。在求解的过程中可以发现,线性化方程为椭圆方程,因此,运用最大值原理可以得到最终结果。其次,在回顾了经典微分曲面理论的基础上,讨论标准的平坦环面和平坦的Klein瓶到R4上的等距嵌入,并给出证明。这些为讨论标准球面在R4的等距嵌入做了准备工作。同时,对结构方程、高斯-科达奇方程和达布方程道三者之间的等价性给出了证明。最后,解决了标准球面在R4中的相关问题。一方面,主要通过构造一个新的度量,并求出其高斯曲率。利用其高斯曲率公式的线性化方程,解决了R4中的等距嵌入的存在性问题。另一方面是给出了 R4中相关问题的后续研究。对于距离函数r=(?),其中,t＝t(r)发现只要能求出t(r),就解决了在R4中的等距嵌入问题,具体可以参见Guan-Lu[2]中的思路。
【学位单位】：电子科技大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O186.12
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第一章 绪论
    1.1 研究工作的背景与意义
    1.2 等距嵌入问题的研究发展
    1.3 本文的章节安排
第二章 三维warped内积空间的开性定理
    2.1 预备知识
    2.2 定理的证明
    2.3 本章小结
第三章 曲面到R~4中的实现
    3.1 基础知识
    3.2 常曲率曲面到欧氏空间的实现
    3.3 高斯-科达奇方程,结构方程和达布方程
    3.4 本章小结
第四章 S~2在R~4中的等距嵌入
    4.1 预备知识
    4.2 R~4中相关问题的后续研究
    4.3 本章小结
第五章 总结和展望
    5.1 全文总结
    5.2 研究展望
致谢
参考文献
攻硕期间取得的研究成果

【参考文献】

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1 ;Infinitesimal nonrigidity of convex surfaces with planar boundary[J];Science in China,Ser.A;2005年04期

本文编号：2845459