紧积分算子特征值问题多尺度数值方法的若干研究

发布时间：2020-10-26 18:06

　　 本论文主要针对紧积分算子特征值问题的数值方法进行讨论和研究,文章共分为三个章节,其中有两个章节分别构造了新的求解积分算子特征值问题的数值方法,并讨论了数值方法的收敛性.我们利用多尺度Galerkin方法中多尺度空间及其多尺度小波基的性质,将其分别与数值分析中的求解线性系统的数值方法和积分算子特征值问题的传统数值求解方法相结合,便可得到更精确、更快速的求解积分特征值问题的数值解法.全文分为三章:第二章,主要是构造一种以高斯赛德尔迭代和Jacobi迭代方法为主,并与多尺度Galerkin方法相结合的求解紧积分算子特征值问题的数值方法.在第一小节中,我们介绍了多尺度小波空间以及多尺度小波基函数等定义和性质.而在第二小节中,主要介绍了如何将紧积分算子特征值问题进行分解的理论框架.在第三小节中,根据多尺度小波空间和分解的理论框架,定义了紧积分算子的算子矩阵形式并根据多尺度小波空间的性质得到其系数矩阵,随后我们利用线性系统的两种迭代数值方法构建了对紧积分算子特征值问题的数值求解过程,如此可得到两种新的迭代数值方法,这两种迭代数值方法的收敛性将在第二章的最后给出.第三章,主要是致力于构造基于多尺度Galerkin方法的多层扩充法.在这一章中,先用多尺度Galerkin方法描述出紧积分算子特征值问题,其次在这个基础上,定义了紧积分算子的算子矩阵形式并对这样的矩阵进行分块.最后给出我们求解紧积分算子特征值问题的新的数值方法,在我们给出算子求解方法的同时,利用多尺度小波空间的定义和多尺度小波函数的性质,我们给出了相应的矩阵求解方法.为了验证我们提出的新的数值方法是合理的、有效的,我们提出了一个辅助的数值方法,并且对逼近解进行误差估计.多尺度小波在随着小波层数增加时,虽然得到的计算矩阵也会随之增大,但由于多层扩充法中对矩阵的分块合理,给我们带来的最大的优势就是极大的简化了计算的复杂度.第四章,主要是构造积分算子特征值问题的数值快速迭代方法.在这一章中,首先用多尺度Galerkin方法描述积分算子特征值问题,在这样的基础上,我们可以先定义出积分算子的矩阵形式,继而我们可以得到等价的矩阵形式.我们知道得到的这个矩阵形式的矩阵是稠密的,因此在这一章中我们引入了截断参数这一概念,利用截断参数将稠密的矩阵截断使其成为一个稀疏的便于计算的矩阵.在第三小节中,我们简单介绍了一种求解做端点为奇异点时的积分数值方法,为最后我们建立积分算子特征值问题的迭代方法做铺垫.最后我们根据截断之后的积分特征值问题以及在第三小节中介绍的含有奇异点的数值方法,建立了离散积分算子特征值问题的一种数值快速迭代方法.
【学位单位】：广西师范学院
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O177.6
【文章目录】：
中文摘要
Abstract
第一章 绪论
    1.1 背景和研究现状
    1.2 紧积分算子特征值问题
    1.3 论文结构以及主要工作
第二章 紧积分算子特征值问题的数值迭代求解方法
    2.1 引论
    2.2 多尺度小波和小波空间
    2.3 多尺度Galerkin方法求解积分算子特征值问题的理论框架
    2.4 基于多尺度Galerkin的两种迭代法
        2.4.1 基于多尺度Galerkin迭代法的框架结构
        2.4.2 迭代方法的收敛性分析
第三章 紧积分算子特征值问题的多层扩充法
    3.1 引论
    3.2 基础知识
    3.3 特征值问题的多尺度Galerkin方法
    3.4 特征值问题的多尺度扩充法
        3.4.1 特征值问题的多尺度扩充法的理论框架
        3.4.2 收敛性分析
    3.5 数值算例
第四章 积分算子特征值问题的数值快速迭代方法
    4.1 基础知识
    4.2 积分算子特征值问题多尺度快速Galerkin方法
    4.3 具有弱奇异核函数的积分数值解法
    4.4 离散的积分算子特征值问题的快速迭代方法
参考文献
攻读硕士期间主要研究成果
致谢

【参考文献】

相关期刊论文 前2条

1 谭蔼美;吴伟芬;黄晓园;;Stokes问题的多尺度小波Galerkin方法[J];广西师范学院学报(自然科学版);2012年03期

2 胡波;吴伟芬;隆广庆;;紧积分算子特征值无网格Galerkin算法[J];广西师范学院学报(自然科学版);2011年03期

本文编号：2857330