无网格特解法求解非线性椭圆方程

发布时间：2020-10-29 20:24

　　 在科学和工程的领域中,在偏微分方程将物理现象转化为数学模型的过程当中,起着十分重要的作用。但可惜的是,绝大多数的偏微分方程没有解析解,我们只能用数值法求数值解。因此,能够得到一个精确度非常高的数值解有十分重要的意义。在求解线性偏微分方程中,我们常用的无网格方法是径向基函数配点法,也称为Kansa方法。这种方法已经十分的成熟,是公认非常重要的无网格求解偏微分方程的方法。但是,在求解非线性椭圆方程时,通过Kansa方法得到的数值解的精确度不够。本论文给出了一种新型的无网格方法求解非线性椭圆方程边界值问题,在这种方法中,给定的函数不再直接作为基函数,而是把它在微分方程中的特解作为基函数来近似数值解。这种无网格方法,是一种间接的方法,我们称这个方法为特解方法。本文研究的主要内容如下:1、介绍特解方法以及特解法在求解线性椭圆方程边界值问题的步骤;2、介绍以径向基函数MQ的特解作为基函数的特解法;以高阶多项式函数的特解作为基函数的特解法,由于高阶多项式的不稳定,会造成系统矩阵的条件数很高,系统矩阵是一个严重的病态矩阵,会对数值解的精确度造成非常大的影响,因此我们需要预先条件对矩阵进行限制,我们介绍了多尺度技术;以径向基函数MQ的特解结合高阶多项式函数为基函数的特解法。3、介绍以上述三种函数的特解作为基函数求解非线性椭圆方程的过程。一般求解非线性方程需要将问题线性化,以及选择可行的迭代方法。在这个部分,我们将介绍两种求解非线性问题的迭代方法,一种是MATLAB非线性求解器,另一种是非常著名的Picard迭代方法。4、介绍了误差,我们在不规则的边界上分别运用上述三种特解法求解Dirichlet边界和Neumann边界条件下的非线性椭圆方程。并且比较这三种方法在这些问题上误差的表现。最后,我们对得出的结果进行总结和分析。
【学位单位】：电子科技大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.82
【文章目录】：
摘要
abstract
缩略名词索引
第一章 绪论
    1.1 简介
    1.2 径向基函数（RBFs）
    1.3 多项式函数
    1.4 径向基函数和多项式函数的结合
    1.5 本文研究内容
    1.6 本文章节安排
第二章 无网格特解法
    2.1 无网格特解方法的介绍
    2.2 无网格特解方法
    2.3 径向基函数（RBFs）
    2.4 多项式函数
        2.4.1 多尺度技术
    2.5 径向基函数和多项式函数的结合
    2.6 本章小结
第三章 特解法求解非线性问题
    3.1 MATLAB非线性求解器
    3.2 Picard迭代方法
    3.3 本章小结
第四章 数值结果
    4.1 不规则区域介绍和误差表示
        4.1.1 不规则区域介绍
        4.1.2 误差表示
    4.2 数值实验
        4.2.1 拥有单边界条件的非线性方程的边界问题
        4.2.2 拥有双边界条件的非线性方程的边界问题
    4.3 本章小结
第五章 工作总结与展望
    5.1 工作总结与主要贡献
    5.2 展望
致谢
参考文献
攻读硕士学位期间取得的成果

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本文编号：2861408