椭圆型方程的三次元与双三次元有限体积法

发布时间：2020-10-30 05:10

　　 有限体积法(FVM)是一种重要的求解偏微分方程的数值离散方法.由于其能够保持物理量局部积分的守恒性,该方法在流体力学、地质学等领域被广泛的应用.本文主要研究一维三次元以及二维双三次元有限体积法的收敛性规律,从理论(一维)和数值实验(一维和二维)上,给出了当对偶剖分满足对称性变化时,相应格式按L2模的收敛阶及超收敛的结果.首先,考虑两点边值问题:其中 I =[a,b],p ∈ C1(I),pmax ≥ p(x)≥pmin0,f ∈ L2(I).对区间I =[a,b]作剖分Tb,节点取为a = x0x1……xn,=b,[xi-1,xi]为任一单元(i= 1,2,…,n).试探函数空间Uh为相应于Th的Lagrange型三次元有限元空间.相应的计算节点(即Lagrange插值节点)取为每个单元的三等分点(含端点),记作 xi-k/3(k= 1,2).相应于Th的对偶剖分Th*,其节点取为a =x0xa*x1/2*x1-α*x1……xixi-α*xi+1/2*xi-1……xn=b.其中xi+α*=α(xi+1-xi)+xi,xi+1-α*=(1-α)(xi+1-xi)+ xi,xi+1/2*=1/2(xi+1xi),i=1,2,…,n.且0α1/3为用于调节对偶剖分位置的参数.检验函数空间Vh为相应于Th*的分片常数函数空间.与试探函数空间Uh的计算节点xj,xj-1/3,xj-2/3,(j=1,…,n)相应的对偶单元分别为「xj-α*,xj+α*」,「xj-1/2*,xj-α*」,「xj-1+α*,xj-1/2*」.一维三次元有限体积法格式为:求uh∈Uh,使得ah(uh,vh)=(f,vh),(?)vh∈ Vh......(1.2)相应的单元形式为其中Φj(x),Φj-1/3(x),Φj-2/3(x)为与xj,xj-1/3,xj-2/3相应对偶单元上的特征函数,{Φj(x),Φj-1/3(x),Φj-2/3(x):1 ≤j≤n为检验函数空间Vh的一组基底.定义П*为Uh到Vh的投影算子(详细定义见2.3节),则(1.2)式等价于αh(uh,Пhuh)=(f,]Пh*,uh),(?)uh∈Uh,进而我们得到了格式的稳定性及H1误差估计.定理1(稳定性)当 0α1、3且h充分小时,离散双线性形式ah(uh,Пh*uh)是正定的,即存在与子空间Uh无关的常数γ0,使得ah(uh,Пh*uh)≥γ‖uh‖12(?)uh ∈ Uh.定理2(H1误差估计)设问题(1.1)的解u∈H4(I),uh是三次元有限体积格式的解,则0α1/3且h充分小时有如下误差估计:‖u-uh‖≤Ch3|u|4.我们扩展了正交性条件[13]在一维的限制,并证明了所有具有对称对偶结构的一维三次有限体积格式均有最佳的按L2模收敛阶.定理3(L2误差估计)设问题(1.1)的解u∈HE1(I)∩H5(I),uh是三次元有限体积格式的解,则当0α1/3且h充分小时有如下误差估计:‖u-uh‖0≤Ch4 |u|5.我们通过数值实验,验证了上述收敛性结果.同时获得了如下超收敛的结论.结论1:在均匀的网格剖分Th上,对偶剖分随α对称性变化时,单元端点及中点处(不含边界单元)数值解导数的平均值与精确解导数有如下超收敛结果.结论2:在均匀的网格剖分Th上,整体超逼近性质仅在对偶剖分节点取为应力佳点时成立,即‖uI-uh‖=O(h4).其中uI为u的分片三次Lagrange插值.再考虑二维Poisson方程:其中 Ω={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d},αΩ为Ω的边界.Th为Ω上的均匀矩形网格剖分,试探函数空间Uh为相应于Th的Lagrange型双三次元有限元空间.对于每个矩形单元,将每条边如一维情形按α进行剖分,连结对边上的对偶剖分节点,我们得到了每个矩形单元内的对偶剖分.即与Th相应的对偶剖分Th*,检验函数空间Vh为相应于Th*的分片常数函数空间.二维双三次元有限体积法格式为:求uh∈Uh,使得αh(uh,vh)=(f,vh),(?)vh∈Vh.相应的单元形式为其中N为所有计算节点,ΦP为相应于P的对偶单元KP*上的特征函数.我们通过数值实验,获得了如下结论.结论1:对偶剖分随α对称性变化时,H1与L2误差估计均能达到最佳收敛阶,即‖u-uh‖1= O(h3),‖u-uh‖n=O(h4).结论2:在均匀的网格剖分Th上,对偶剖分随α对称性变化时,在对称点处(各单元的顶点、边中点以及中心点)的数值解梯度的平均值与精确解梯度有如下超收敛结果.结论3:在均匀的网格剖分Th上,整体超逼近性质仅在对偶剖分节点取为应力佳点时成立,即‖uI-uh‖=O(h4).其中u1为u的双三次Lagrange插值.
【学位单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.82
【文章目录】：
摘要
Abstract
第1章 绪论
第2章 一维Lagrange型三次元
    2.1 试探函数空间和检验函数空间
    2.2 三次元有限体积法的一般格式
1误差估计'>    2.3 稳定性和H¹误差估计
    2.4 正交性条件
2误差估计'>    2.5 L²误差估计
    2.6 数值实验
第3章 二维Lagrange型双三次元
    3.1 试探函数空间和检验函数空间
    3.2 双三次元有限体积法的一般格式
    3.3 数值实验
第4章 结论和展望
参考文献
致谢

【参考文献】

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1 于长华;王晓玲;李永海;;解两点边值问题的一类修改的三次有限体积元法[J];计算数学;2010年04期

2 于长华;李永海;;解两点边值问题的基于应力佳点的二次有限体积元法[J];吉林大学学报(理学版);2009年04期

3 倪平,吴微;广义Galerkin方法的超收敛估计[J];高等学校计算数学学报;1986年02期

4 吴微,李荣华;解一维二阶椭圆和抛物型微分方程的广义差分法[J];数学年刊A辑(中文版);1984年03期

5 向新民;解两点边值问题的广义差分法——Lagrange二次元[J];黑龙江大学自然科学学报;1982年02期

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1 陈艳利;二阶椭圆型方程有限体积法的若干研究[D];吉林大学;2014年

本文编号：2862033