鞍点和Toeplitz结构化线性系统的数值解法研究

发布时间：2020-11-03 09:03

　　 大规模线性(代数)系统来源于很多的实际应用问题,如计算流体力学、电磁场计算、约束优化、数字图像处理和偏微分方程数值离散等.线性系统的求解对整个应用问题的解决具有至关重要的作用,其数值解法研究是科学与工程计算的核心问题之一,具有十分重要的理论意义和实际应用价值.面对实际问题中结构各异的线性系统,如何充分利用各自的特殊结构和性质来设计稳定、高效的求解方法是现代数值计算的重要方面,也是国内外数值工作者和工程技术人员研究的热点.本文研究了偏微分方程离散产生的结构化线性系统的数值解法.重点关注具有鞍点结构和Toeplitz结构的线性系统,通过研究直接法、矩阵分裂迭代法、Krylov子空间方法和预处理技术等,提出了一些快速、稳定的迭代解法和预处理子.全文分为七章.第一章主要介绍了鞍点和Toeplitz结构化线性系统的背景和研究意义,对问题的研究现状进行了综述,并概述了本文的主要工作和创新点.第二章研究了偏微分方程离散产生的非Hermitian鞍点问题的有效解法.我们在引入矩阵变换对鞍点问题进行降维的基础上,根据低维子线性系统系数矩阵的非Hermitian性,通过对鞍点问题的(1,1)-块矩阵进行Hermitian和反Hermitian分裂(HSS),提出了基于HSS的非耦合迭代法.该方法通过降维和矩阵分裂迭代技术有效的提高了计算效率.理论研究了迭代法的收敛性,数值试验证实了新方法的有效性和稳定性.第三章将广义局部Hermitian和反Hermitian分裂(GLHSS)迭代法推广用于求解具有块2×2结构的线性系统.重点考虑了系数矩阵(1,2)-块与(2,1)-块的共轭转置不相等或(2,2)-块是Hermitian正定(HPD)矩阵的情形.同时,我们还讨论了迭代参数矩阵的选取及其对迭代法求解效率的影响.通过选取合适的参数矩阵,将一些已有迭代法(如局部HSS(LHSS)迭代和修正的局部HSS迭代法(MLHSS)等)统一表述,同时提出了几个新的迭代法.理论分析了推广方法的收敛性,数值试验证明了其有效性.第四章研究了差分离散偏微分方程所得到的鞍点和Toeplitz结构化线性系统的数值解法.充分利用系数矩阵所具有的Toeplitz结构,提出了一个新的矩阵分裂—循环剩余分裂,结合鞍点结构提出了局部循环剩余分裂(LCRS)迭代法求解鞍点问题,并进一步考虑使用LCRS分裂矩阵作为预处理子来加速GMRES方法的收敛速度.新方法能够借助快速Fourier变换实现循环矩阵对角化和Toeplitz矩阵与任意向量乘积的快速计算,节省迭代法和预处理子的计算量,提高计算效率.理论分析了LCRS迭代法的收敛性及其预处理子的有效性,数值试验表明LCRS迭代法及其预处理子加速GMRES方法在CPU时间方面有出色的表现.第五章研究了Crank-Nicholson离散分数阶扩散方程得到的Toeplitz结构化线性系统的数值求解方法.基于Lin(2014)提出的带状预处理子,我们提出了基于Strang和T.Chan循环近似的预处理子来加速CGNR和GMRES方法.新的预处理子能够充分利用快速Fourier变换实现预处理线性系统的快速求解,大大提高了计算效率.在扩散系数是非负函数的情形下证明了新预处理子的可逆性,在扩散系数是常数的情形下证明了预处理矩阵的谱聚集性.数值试验表明了基于循环近似的预处理子的迭代次数多于带状预处理子,但CPU时间明显少于后者,而这恰恰就是循环预处理子的优势所在.第六章研究了有限体积法离散分数阶扩散方程得到的Toeplitz结构化线性系统的数值求解方法.为进一步提高Wang(2013)提出的对角矩阵乘对称正定Toeplitz矩阵形式的预处理子的计算效率,我们提出了两个基于Strang循环近似、-循环近似的预处理子和两个基于Strang反循环近似、-反循环近似的预处理子来加速共轭梯度类迭代法的收敛性.理论分析了四个预处理子的可逆性,数值试验表明预处理子加速共轭梯度正规残量法(CGNR),共轭梯度平方法(PCGS)和稳定的双共轭梯度法(Bi CGStab)效果非常明显.同时,对稳态Riesz空间分数阶扩散方程和测试的迭代法而言,基于循环近似的两个预处理子和基于反循环近似的两个预处理子的预处理效果没有明显差别.第七章对全文做了总结并对以后工作进行了展望.
【学位单位】：兰州大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2016
【中图分类】：O241.6
【文章目录】：
中文摘要
英文摘要
第一章 绪论
    1.1 问题的背景及研究的意义
    1.2 鞍点问题数值解法
    1.3 分数阶扩散方程中Toeplitz系统的数值解法
    1.4 本文的研究内容、研究方法与创新点
    1.5 本文的结构安排
第二章 基于HSS的非耦合迭代法求解鞍点问题
    2.1 引言
    2.2 基于HSS的非耦合迭代法
    2.3 数值试验
    2.4 本章小结
    附表
第三章 广义局部HSS迭代法求解块2×2线性系统
    3.1 引言
    3.2 GLHSS迭代法的推广
    3.3 特殊的GLHSS方法
    3.4 数值试验
    3.5 本章小结
    附表
第四章 局部循环剩余分裂迭代法求解Toeplitz结构鞍点问题
    4.1 引言
    4.2 循环剩余迭代法
    4.3 局部循环剩余迭代法
    4.4 Krylov子空间加速
    4.5 数值试验
    4.6 本章小结
    附表
第五章 基于循环近似的预处理子加速求解FDE
    5.1 引言
    5.2 Crank-Nicholson离散分数阶扩散方程
    5.3 基于循环近似的预处理子
    5.4 预处理矩阵的谱
    5.5 数值试验
    5.6 本章小结
第六章 基于循环与反循环近似的预处理子加速求解FDE
    6.1 引言
    6.2 有限体积法离散Riesz空间分数阶扩散方程
    6.3 基于循环近似和反循环近似的预处理子
        6.3.1 基于循环近似和反循环近似的预处理子的构建
        6.3.2 预处理子的可逆性
        6.3.3 快速计算
    6.4 数值试验
    6.5 本章小结
    附表
第七章 总结与展望
    7.1 总结
    7.2 展望及未来工作
参考文献
在学期间的研究成果
致谢

【参考文献】

相关期刊论文 前4条

1 赵景余;张国凤;常岩磊;;求解鞍点问题的一种新的结构算法[J];数值计算与计算机应用;2009年02期

2 ;Several splittings for non-Hermitian linear systems[J];Science in China(Series A:Mathematics);2008年08期

3 ;THE RESTRICTIVELY PRECONDITIONED CONJUGATE GRADIENT METHODS ON NORMAL RESIDUAL FOR BLOCK TWO-BY-TWO LINEAR SYSTEMS[J];Journal of Computational Mathematics;2008年02期

4 白中治;Construction and Analysis of Structured Preconditioners for Block Two-by-Two Matrices[J];Journal of Shanghai University;2004年04期

本文编号：2868377