有限环（域）上若干类码的理论及其应用研究

发布时间：2020-11-06 19:40

　　 随着代数编码理论以及纠错码理论的飞快发展,而有限环上该理论基础在理论和实际应用中都有着越来越重要的研究意义,尤其是在信息安全方面的应用逐渐被人们认可.本文在已有环上编码理论研究的前提下,进一步研究有限环上线性码的重量分布、MacWilliams恒等式、迹码、常循环码、二次剩余码、自对偶准扭码、LCD准扭码以及有限域上自对偶双(或4)-负循环码、自对偶广义准循环码.具体内容如下:1、研究了有限非链环F2[v,v]/u2-1,v3-v,uv-vu上线性码的重量分布和MacWilliams恒等式.定义了该环上的Gray映射和Lee重量、对称重量、Hamming重量、完全重量计数器,首先研究了该环上线性码的Gray像以及像码与其对偶码之间的关系.最后给出了该环上线性码和其对偶码之间关于完全重量计数器和对称重量计数器的MacWilliams恒等式.2、研究了有限非链环Fp+uFp+vFp+uvFp上的迹码及其像码.通过考虑两种不同的定义集以及该环上的Gray映射,利用高斯和计算该环上线性码的重量分布情况,得到了两类p-元2-重量码和两类p-元3-重量码,并讨论了这两类码在秘钥共享方案中的应用.3、研究了有限非链环 Z4[u]/u2-1和 Fp[u,v]/u2-1,v3-v,uv-vu上一类特殊的常循环码.首先研究了环Z4[u]/u2-1上(1+2u)-常循环码的一些非常有兴趣的性质以及生成多项式,定义了该环上的Gray映射,并且借助Magma数学软件得到了比已有文献以及码表中参数更好的线性码.其次研究了环Fp[u,v]/u2-1,v3-v,uv-vu上的(1-2v2)-常循环码,利用中国剩余定理讨论该环上常循环码的结构.通过给定的Gray映射,研究了该环上常循环码的相关性质.4、研究了有限非链环Fp+uFp+vFp+uvFp+v2Fp+uv2Fp上的二次剩余码,利用中国剩余定理和幂等生成元定义了该环上的二次剩余码,进一步讨论了该环上二次剩余码与其扩展码之间的关系.5、研究了有限域上指数为2(或4)的自对偶负循环码.首先研究了xn+1(n是奇数的两倍)在域Fq上的一类特殊分解.其次,给出自对偶双负循环码和自对偶4-负循环码的准确计数.最后讨论了这两类码的渐近性.6、研究了有限链环Fq[u]/uk上长度为2m的自对偶准扭码和LCD准扭码.首先,通过研究xm-λ的特殊分解,得到自对偶双-λ循环码和LCD双λ-循环码的精确计数.最后,针对不同的分解,得到四类自对偶准扭码和四类LCD准扭码,这些码的相对距离都可以达到修订的Gilbert-Varshamov界.7、研究了有限域上好的广义自对偶准循环码的存在性.主要利用Cubic构造和Quintic构造方法分别构造了两类不同长度的二元码,并定义两种不同的映射映到该线性码上.最后,研究了长二元自对偶广义准循环码的渐近性.
【学位单位】：安徽大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O157.4
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第一章 绪论
    1.1 研究背景
    1.2 本文的主要内容及安排
    1.3 符号说明
第二章 预备知识
    2.1 有限环上的线性码
    2.2 有限环上的循环码
    2.3 高斯（Gaussian）和以及勒让德（Legendre）符号
    2.4 线性码的秘钥共享方案
    2.5 码的渐近性
    2.6 本章小结
1=F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上线性码的重量计数器和MacWilliams恒等式¹'>第三章 环R₁=F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上线性码的重量计数器和MacWilliams恒等式1

    3.1 环F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上线性码的结构及其Gray像
2[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上线性码的MacWilliams恒等式'>    3.2 环F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上线性码的MacWilliams恒等式
    3.3 应用举例
    3.4 本章小结
2=F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上的迹码²'>第四章 环R₂=F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上的迹码²

    4.1 基本知识
p+uF_p+vF_p+uvF_p上迹码的重量分布'>    4.2 环F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上迹码的重量分布
    4.3 对偶码的最小距离
p+uF_p+vF_p+uvF_p上迹码的应用'>    4.4 环F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上迹码的应用
    4.5 本章小结
第五章 两类有限非链环上的常循环码
3=Z₄[u]/2-1>上的常循环码³'>    5.1 环R₃=Z₄[u]/2-1>上的常循环码³

        5.1.1 基本知识
4[u]/2-1>上的（1+2u）-常循环码'>        5.1.2 环Z₄[u]/2-1>上的（1+2u）-常循环码
        5.1.3 计算结果
4=F_p[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu)上的常循环码⁴'>    5.2 环R₄=F_p[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu)上的常循环码⁴

        5.2.1 基本知识
p+uF_p+ vF_p+ uvF_p+v2^{F
p+uv2F_p上的（1一2v2）-常循环码'>        5.2.2 环F_p+uF_p+ vF_p+ uvF_p+v2F
p+uv2F_p上的（1一2v2）-常循环码
        5.2.3 应用举例
    5.3 本章小结
4=F_p[u,v]/2-1,v3-v,uv-vu>上的二次剩余码5'>第六章 环R₄=F_p[u,v]/2}-1,v³-v,uv-vu>上的二次剩余码⁵

    6.1 基本知识
p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²Fp+uv²F_p上的循环码'>    6.2 环F_p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²Fp+uv²F_p上的循环码
p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²F_p+uv²F_p上的二次剩余码'>    6.3 环F_p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²F_p+uv²F_p上的二次剩余码
p+uF_p+vF_p+vvF_p+v²F_p+vv²F_p上的扩展二次剩余码'>    6.4 环F_p+uF_p+vF_p+vvF_p+v²F_p+vv²F_p上的扩展二次剩余码
    6.5 应用举例
    6.6 本章小结
6'>第七章 有限域上指数为2或为4的自对偶负循环码⁶

    7.1 基本知识
n+1在域F_q上的一类特殊分解'>    7.2 多项式xⁿ+1在域F_q上的一类特殊分解
    7.3 自对偶双负循环码（或4-负循环码）的准确计数
    7.4 自对偶双负循环码（或4-负循环码）的渐近性
    7.5 本章小结
7'>第八章 有限链环上指数为2的自对偶准扭码和LCD准扭码⁷

    8.1 基本知识
    8.2 指数为2的λ-循环码的代数结构
        8.2.1 双循环码（λ=1）
        8.2.2 双负循环码（λ=-1）
t）'>        8.2.3 指数为2的准扭码（λ=1+ωγ^t）
    8.3 主要结论
    8.4 本章小结
8'>第九章 好的自对偶广义准循环码的存在性⁸

    9.1 基本知识
    9.2 组合界
        9.2.1 Cubic构
        9.2.2 Quintic构造
    9.3 渐近界
        9.3.1 Cubic码
        9.3.2 Quintic码
        9.3.3 GQC码
    9.4 本章小结
第十章 总结与展望
    10.1 总结
    10.2 展望
参考文献
致谢
攻读硕士学位期间的学术活动及科研成果

【参考文献】

相关期刊论文 前4条

1 SHI Minjia;WANG Dandan;GAO Jian;WU Bo;;Construction of One-Gray Weight Codes and Two-Gray Weight Codes over Z_4+uZ_4[J];Journal of Systems Science & Complexity;2016年05期

2 李平;李珊珊;唐永生;;环Z4+uZ4线性码关于李重量的一类MacWilliams恒等式[J];电子学报;2015年12期

3 LIU Xiusheng;LIU Hualu;;Macwilliams Identities of Linear Codes over the Ring F_2+ uF_2+ vF_2[J];Journal of Systems Science & Complexity;2015年03期

4 SHI Minjia;;Optimal p-ary Codes from Constacyclic Codes over a Non-chain Ring R[J];Chinese Journal of Electronics;2014年04期

本文编号：2873577

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