求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性

发布时间：2020-11-09 14:29

　　 作为一种重要的数学模型,随机微分方程(SDE)已被广泛应用于金融学、控制论、生态学、神经网路等具有不稳定性的确定性微分系统中,但随机微分方程的解析解不像一般的常微分方程那样容易求得,大多都是用数值解来逼近。因而数值方法的有效性就是解决问题的关键,而有效性一般通过数值方法的稳定性和收敛性来衡量。本文主要研究了求解两类随机微分方程数值方法的稳定性和收敛性。1、对于It(?)型随机微分方程,主要研究了求解它的数值方法及方法的稳定性。首先通过对求解It(?)型随机微分方程的Heun方法进行改进得到θ-Heun方法。然后根据数值方法均方稳定和指数稳定的定义,证明了θ-Heun数值方法均方稳定和指数稳定的充要条件,以及均方稳定区域。接着给出了使θ-Heun数值方法均方稳定的θ的取值范围,并进行了数值验证。最后用数值实验对这两种数值方法的均方稳定性和渐进稳定性进行了对比。2、研究了求解It(?)型随机微分方程θ-Heun方法的收敛性。根据数值方法收敛性的定义,证明了求解标量自治随机微分方程的θ-Heun方法的几种收敛阶,并用数值例子进行了验证。3、推导出几种求解Stratonovich型随机微分方程的数值方法。运用It(?)型随机微分方程与Stratonovich型随机微分方程之间的转换法则,把Stratonovich型随机微分方程转换成相对应的It(?)型随机微分方程,从而推导出求解Stratonovich型随机微分方程的Heun方法和θ-Heun方法,并利用分步技巧获得了这两种方法的漂移分步法和扩散分步法。从而获得了六种求解Stratonovich型随机微分方程的数值方法。4、对于Stratonovich型随机微分方程,讨论了上述所得六种数值方法的稳定性。首先根据均方稳定和指数稳定的定义证明了这六种数值方法稳定的充要条件,然后给出了使得Stratonovich型随机微分方程的θ-Heun方法均方稳定的θ的取值范围,并进行了数值验证。最后用数值例子分别对这六种数值方法的均方稳定性和渐进稳定性进行了对比。
【学位单位】：长安大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O211.63;O241.8
【部分图文】：

图 2.1 Brown 运动的典型轨道噪声据性质 2.4 的（3）可知 Brown 运动不可微，但依然可以讨论它的形式导证明 W t 是一个服从均值为零的正态过程。义 2.5 我们把W t 的形式导数称为白噪声[43]，即：W t dW t / dt t 0 机积分to 积分与 Stratonovich 积分机积分有很多种定义，但只有 积分和 Stratonovich 积分在理论和实践中

5。用 θ-Heun 方法对解析解进行模拟，绘出图 3.1 和 3.2：图3.1 θ-Heun方法的MS稳定性（1=10 ） 图3.2 θ-Heun 方法的 MS 稳定性（1=5 ）通过对比上面这两幅图发现：对于随机微分方程（3.12），当 时，用 θ-Heun方法求解得到的数值解是不稳定的，如图 3.1；而当 时，用 θ-Heun 方法求解得到的数值解是稳定的，如图 3.2。下面给出理论说明。根据定理 3.9，当 4，12

图 3.3 Heun 方法的 MS 稳定性 图 3.4 θ-Heun 方法的 MS 稳定性从图 3.3 中观察到：仅当14h 时，才有2lim ( ( ) ) 0tE X t ，通过定义 3.3 可知此时Heun 方法是均方稳定的。但当 h 1和12h 时，2lim ( ( ) ) 0tE X t ，即 Heun 方法不是均方稳定的。这是由于对于随机微分方程（3.13），用 Heun 方法来求解时，均方稳定的条件是22 221 12hh h ，这三个步长中只有当 时此条件成立。从图 3.4 中观察到：不管 h 1， 还是 ,都有 ，通过定义3.3 可知 θ-Heun 方法是均方稳定的。这是由于用 Heun 方法来求解方程（3.13）时，均方稳定的条件是 22 2 21 h h h 1，当1 11, ,2 4h 时此条件都成立。通过这两幅图的对比，可知用 θ-Heun 方法来求解方程（3.13）时，解的均方稳定性比 Heun 方法的稳定性好。
【参考文献】

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本文编号：2876561