若干经典与超系统的可积性研究

发布时间：2020-11-09 19:10

　　 本文主要研究一些经典系统与超系统的可积性.首先,利用对称方法,我们研究了 0-齐次的2阶,3阶,5阶标量发展型超对称方程,给出具有高阶广义对称的所有方程.在超对称互反变换和因变量变换下,绝大部分方程变为我们熟悉的方程.它们是势(potential)超对称Modified Korteweg-de Vries(MKdV)方程,势超对称三阶Burgers方程,势超对称五阶MKdV方程,势超对称Fordy-Gibbons方程,超对称Kawamoto方程.另外,我们还得到了 一个新的超对称三阶Harry Dym方程和一个新的超对称五阶Harry Dym方程,它经超对称互反变换后与势超对称五阶MKdV方程相联系.其次,我们讨论了广义Riemann方程的守恒律.寻找非线性偏微分方程的守恒律一直以来都是数学物理研究中的重要议题.构造了 N = 2的广义Rieman-n方程的两类包含任意函数的守恒律.通过特定的约化将这些结果推广到著名的Gurevich-Zybin系统,Monge-Ampere系统,两分量Hunter-Saxton方程以及超对称Hunter-Saxton方程.我们将研究N = 2的方法推广到一般情况,得到广义Riemann方程的两类包含任意函数的守恒密度.最后,基于Kupershmidt长波扩展方程的双Hamilton结构,利用平方特征函数方法得到其谱问题.不同于一般的谱问题,它对谱参数的依赖并不是线性的.这种谱问题可以嵌入到依赖于能量的Schrodinger谱问题中.进一步,得到了长波扩展方程的Mirua变换以及修正系统.通过三哈密顿对偶方法我们构造了两个Camassa-Holm型系统.
【学位单位】：中国矿业大学(北京)
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175
【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 引言
    1.1 选题背景及意义
    1.2 文章各部分的主要内容
第二章 基础知识
    2.1 互反变换
    2.2 对称及其性质
    2.3 双Hamilton结构
    2.4 Miura变换
    2.5 超对称发展型方程的对称
        2.5.1 超对称变换
        2.5.2 超对称可积系统的对称
    2.6 超对称可积系统的互反变换
第三章 0-齐次标量发展型超对称可积方程的分类
    3.1 背景介绍
    3.2 具有高阶对称的超对称方程
        3.2.1 二阶超对称方程
        3.2.2 三阶和五阶方程的分类结果
    3.3 简化分类结果
        3.3.1 半线性方程
        3.3.2 拟线性方程
第四章 广义Riemann方程的守恒律
    4.1 背景介绍
    4.2 N=2的广义Riemann方程
    4.3 与N=2情形相关的系统
        4.3.1 Gurevich-Zybin系统和Monge-Ampere方程
        4.3.2 两分量Hunter-Saxton方程
        4.3.3 超对称Hunter-Saxton方程
    4.4 一般情形的守恒律
第五章 Kupershmidt长波扩展方程
    5.1 长波扩展方程的谱问题
    5.2 Miura变换及其修正系统
    5.3 对偶系统
第六章 结论和展望
参考文献
致谢
作者简介
附录

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本文编号：2876853