二元样条函数中的某些问题

发布时间：2020-11-09 19:45

　　 样条函数在计算几何、数值逼近、计算机图形学、计算机辅助几何设计等诸多领域有着广泛的应用。1946年,I.J.Schoenberg系统地建立了一元样条函数的相关理论基础。随着科技日新月异的发展,许多问题已不能用简单的一元样条函数来刻画。然而多元样条并不是一元样条的简单推广,两者之间存在着本质的差别。1975年,王仁宏提出了光滑余因子协调法,建立了任意剖分下多元样条函数的理论框架,解决了贯穿剖分,拟贯穿剖分,1型三角剖分和2型三角剖分上的样条函数的维数和基函数的问题,并且也在应用方面取得了一些成果。由于高维空间的复杂性,二元样条还有很多问题并未得到很好地解决。鉴于此,开展二元样条函数的研究工作十分必要。利用光滑余因子协调法,本文对二元样条的维数和基底问题进行了深入研究,全文分为四章,具体安排如下:1.第一章,介绍样条函数的基本理论框架,样条基函数稳定性的发展历程,和可局部加细的样条函数的研究进展。2.第二章,利用光滑余因子方法讨论三角剖分上样条空间的维数。我们讨论了Morgan-Scott三角剖分上的样条空间Sk2(△MS)(k ≥ 4)的维数和S42(△MS)维数不稳定的几何特征。我们证明了当非退化三角剖分△的任意内点的度不小于6,那么S2rr(△)(r≥1)的维数是稳定的并仅由剖分边界点的个数决定,并通过一个例子说明对于剖分非退化的限定是必要的。3.第三章,考察了 B样条基和截断分层B样条基关于Lp范数的稳定性,即对于截断误差的敏感性。张量积型的截断分层B样条具有单位分解性和较小的支集,在诸多领域有着广泛的应用。Giannelli等人在2014年讨论了这种样条关于L∞范数的稳定性,但关于Lp(1 ≤ p∞)范数的稳定性并不十分明朗。我们通过考察样条系数变化和函数值变化之间的联系来讨论B样条基和截断分层B样条基关于Lp范数的稳定性。其中截断分层B样条基是Lp弱稳定的,这意味着截断分层B样条基的Lp稳定性是依赖于分层的层数的。4.第四章,研究了基于三角剖分的分层样条空间。三角剖分上的样条函数对于相同的连续性比张量积样条具有更低的多项式次数,并且不像张量积样条那样仅局限于矩形区域。我们给出了基于任意的三角剖分的截断分层B样条的构造方法以及一些性质的证明,这种截断分层B样条满足单位分解性并具有较小的支集,将其应用在拟插值中也得到了比较好的效果。
【学位单位】：大连理工大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.5
【部分图文】：

?口??２．３?Ｍｏｒｇａｎ－Ｓｃｏｔｔ三角剖分上样条空间４）的维数??Ｍｏｒｇａｎ－Ｓｃｏｔｔ三角剖分ＡＭｓ如图２．７所７Ｋ，其中ａ，６，?ｃ是内点，Ａ，?Ｓ，（７是边界??点。下面我们讨论当Ａ：?２?４时珣（Ａｍｓ）的维数ｄｉｍ頊（Ａｍｓ）。??２．３．１样条空间與（ＡＭＳ）（Ａ：?＞句的维数??由光滑余因子方法可知Ｖｓ（ｚ，ｙ）?ｅ呙（Ａ）均可由一组光滑余因子唯一确定，并满足??相应的全局协调条件。从光滑余因子方法的角度来看，计算二元样条空间的维数就等价??于确定相应的二元样条空间的整体协调条件对应的线性系统的解空间。??－２６?—??

图２．１１解剖三角剖分??Ｆｉｇｕｒｅ?２．１１?Ｄｉｓｓｅｃｔｉｎｇ?ａ?ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ．??典型例子。令Ａ＇是样条空间另（Ａ＇）的全局协调条件对应的线性系统（２．４６），４是样条空间匀（Ａ）的全局协调条件对应的线性系统（２．４６）中的矩阵。）?＝?Ｗ（ＺＶ）?＋?１，１／ｂ（Ａ）＝Ｖ＾（Ａ＇），那么矩阵４可以由矩阵如下得到??ｆ?Ａ＇?０?＼??＾?＝?，?（Ｖ?Ｂ２?）??（ａ？?、??Ｂ２?＝?２ａｉＰｉ?２ａ２／３２?２ａ３／３３?，?（Ｖ?＾?Ｐｉ?Ｐｉ?／???／＾ｙ?＋?７）?＝?０分别是内边而Ｊ（１?Ｓ?ｊ＇仝３）上的直线方程。因为｛７＾，ｒ２｝是一填充，所以三条内边研７１，而＾和而Ｊ具有不同的斜率。从而矩阵氏可以

?（ｂ）?（ｃ）乃与?ｒ２??图２．１１解剖三角剖分??Ｆｉｇｕｒｅ?２．１１?Ｄｉｓｓｅｃｔｉｎｇ?ａ?ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ．??的一个典型例子。令Ａ＇是样条空间另（Ａ＇）的全局协调条件对应的线性系统（２．４６）中的??矩阵，４是样条空间匀（Ａ）的全局协调条件对应的线性系统（２．４６）中的矩阵。注意到??Ｒ（Ａ）?＝?Ｗ（ＺＶ）?＋?１，１／ｂ（Ａ）＝Ｖ＾（Ａ＇），那么矩阵４可以由矩阵如下得到??ｆ?Ａ＇?０?＼??＾?＝?，?（２．６５）??Ｖ?Ｂ２?）??其中??（ａ？?、??Ｂ２?＝?２ａｉＰｉ?２ａ２／３２?２ａ３／３３?，?（２．６６）??Ｖ?＾?Ｐｉ?Ｐｉ?／??％：￡?＋?／＾ｙ?＋?７）?＝?０分别是内边而Ｊ（１?Ｓ?ｊ＇仝３）上的直线方程。因为｛７＾，ｒ２｝是一个非退??化２－填充，所以三条内边研７１，而＾和而Ｊ具有不同的斜率。从而矩阵氏可以看做某??个三角剖分上的样条空间匀（Ａ〃）的全局协调条件对应的线性系统（２．４６）中的矩阵，??其中三角剖分Ａ＂有一个内点ｔ；
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本文编号：2876886