分数阶积分微分方程数值算法研究

发布时间：2020-11-10 20:43

　　 近几十年来,分数阶微积分理论在浓厚的应用学科背景的影响下,引起了数学界的重视和广泛关注,逐渐成为一个新的活跃的研究领域。目前,分数阶积分微分方程已广泛应用于分数物理学、混沌与湍流、高分子材料的解链和随机过程等诸多科学领域中,并取得了一些可喜的研究成果。对分数阶积分微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际的应用价值,特别是从实际问题中抽象出来的分数阶积分微分方程问题成为许多数学工作者的研究热点。但是绝大数分数阶积分微分方程很难得到其解析解,因而长期以来,学者们一直致力于研究其数值解。虽然现在学者们已提出一些求解分数阶积分微分方程的数值方法,但是理论体系仍然需要进一步完善。因此,本文将对非线性分数阶积分微分方程和多维分数阶Fredholm积分方程的数值解法进行探讨。本文主要基于广义Hat函数的算子矩阵法与改进Hat函数的配置法分别来研究非线性分数阶积分微分方程和多维分数阶Fredholm积分方程的数值算法。对于非线性分数阶积分微分方程,先利用广义Hat函数推导求出非线性分数阶积分微分方程的积分算子矩阵,将该类方程转化为非线性代数方程组,从而求出其数值解。然后通过数值算例,进行误差分析,并与CAS小波方法的数值结果相对比,说明了本文所提方法的有效性和可行性。对于多维分数阶Fredholm积分方程,首先证明该类方程解的存在唯一性,简要阐述配置法的基本理论。以改进Hat函数为基底的配置法求解多维分数阶Fredholm积分方程,利用改进Hat函数的性质及配置法导出离散方程,将积分方程转化为代数方程组进行求解。根据投影算子理论,证明了所提方法的收敛性,并给出了误差估计式。数值算例的结果与其他文献进行比较,验证了本文所提算法是一个高精度算法。
【学位单位】：电子科技大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175
【文章目录】：
摘要
abstract
第一章 绪论
    1.1 课题背景及研究意义
    1.2 分数阶积分微分研究现状
    1.3 论文的主要内容及章节安排
第二章 预备知识
    2.1 分数阶微积分的相关定义
        2.1.1 Grunwald-Letnikov分数阶导数
        2.1.2 Riemann-Liouville分数阶积分
        2.1.3 Riemann-Liouville分数阶导数
        2.1.4 Caputo分数阶导数
    2.2 Hat函数的定义与相关性质
        2.2.1 广义Hat函数的定义与性质
        2.2.2 广义Hat函数的整数阶积分算子矩阵
        2.2.3 改进Hat函数的定义与性质及推广
        2.2.4 多维改进Hat函数的定义与性质
        2.2.5 改进Hat函数的整数阶积分算子矩阵
    2.3 本章小结
第三章 广义Hat函数求解分数阶积分微分方程
    3.1 广义Hat函数的分数阶积分算子矩阵
    3.2 函数逼近
    3.3 数值方法
    3.4 误差分析
    3.5 数值算例
    3.6 本章小结
第四章 改进Hat函数求解多维分数阶积分方程
    4.1 解的存在性和唯一性
    4.2 配置法的基本理论
    4.3 解多维分数阶Fredholm积分方程的数值方法
        4.3.1 多维分数阶Fredholm积分方程
        4.3.2 数值算法
    4.4 收敛性分析
    4.5 误差分析
    4.6 数值算例
    4.7 本章小结
第五章 总结与展望
    5.1 工作总结
    5.2 研究展望
致谢
参考文献
攻读硕士期间取得的研究成果

【参考文献】

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本文编号：2878319