罗斯勒系统及猝变方程的动力学分析

发布时间：2020-11-11 13:58

　　 本文借助于分支理论与数值模拟研究了两类非线性动力系统的动力学行为.论文首先讨论了一般的罗斯勒系统,证明了系统存在折分支,Hopf分支,折-Hopf分支以及Bogdanov-Takens分支,此外还判断了 Hopf分支的方向和极限环的稳定性,之后借助于Auto与MATLAB给出分支图以及相图等来进一步验证理论结果,并且发现Hopf分支可以是超临界的,次临界的或者退化的,当选取不同的分支参数时,出现的退化的Hopf分支的个数不同.接着,本文讨论了一般猝变方程的动力学行为,系统存在折分支.,Hopf分支,折-Hopf分支以及Bogdanov-Takens分支.在这里,我们给出了相应的数值模拟,并且发现系统存在极限环的折分支.
【学位单位】：郑州大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175
【部分图文】：

２．４数值模拟??在这一部分，我们将用数值模拟来进一步说明系统丨２．１丨存在Ｈｏｐｆ分支，折分支，??折－Ｈｏｐｆ分支，Ｂｏｇｄａｎｏｖ－Ｔａｋｅｎｓ分支．图＿２?－图５是一些分支图、极限环图和分支曲线??图．这些图都是通过软件Ｍａｔｃｏｎｔ和Ａｕｔｏ?［２２－２４］绘制．??在图２中，⑷是以知为自由参数的分支图．对于系统（２．１）的初值参数选取参考??表?１，初始点是（１．７７４５９６６６９２４，?１．７７４５９６６６９２４，－１．７７４５９６６６９２４）．实线上的平衡点是稳定??的，虚线上的是不稳定的．蓝色填充的正方形代表Ｈｏｐｆ分支点，无填充的正方形代表折??分支点．由图可以看到系统（２．１）存在一个Ｈｏｐｆ分支点，一个折分支点．当＝?０．９５７１０９??时，系统（２．１）在平衡点（－０．７０７１０８，?－０．７０７１０８，?０．７０７１０８）处发生亚临界Ｈｏｐｆ分支，且此??稳定的平衡点的第一李雅普诺夫系数大于０，故在此平衡点附近存在一个不稳定极限环．??当＝?－０．５时，系统（２．１）在平衡点（１，１，－１）处发生折分支．（ｂ）是Ｈｏｐｆ分支产生的??不稳定极限环．图３里我们选取黑色的线代表折分支曲线

方形代表Ｈｏｐｆ分支点，无填充的正方形代表折分支点．??和丑２都是不稳定的平衡点，而从左向右过丑ｔ点时，平衡点特征值稳定性的个数发生??了变化，但不改变平衡点的稳定性．图７是极限环图．（ａ）亚临界Ｈｏｐｆ分支产生的不稳定??极限环，（ｂ）超临界Ｈｏｐｆ分支产生的稳定极限环．当／ｃ８?＝?０．９２７３３８１时，系统（３．２）出现??极限环的折分支（图８．?ａ）．这是由于Ｈｏｐｆ分支点历产生的稳定极限环与Ｈｏｐｆ分支点??、／／２产生的不稳定极限环相碰产生的．在图８．?ｂ中，我们可以更直观的看到这一过程．??在图９中，我们选取黑色的线代表折分支曲线，蓝色的线代表Ｈｏｐｆ分支曲线．白色??的圆代表Ｂｏｇｄａｎｏｖ－Ｔａｋｅｎｓ分支点，蓝色的三角形代表折－Ｈｏｐｆ分支点，白色的三角形代??表退化的Ｈｏｐｆ分支点：（ａ）是／ｃ７?＝?１．７５以心，知为自由参数时的分支曲线图，蓝色的??三角形是折－Ｈｏｐｆ分支点，白色的三角形代表退化的Ｈｏｐｆ分支点．蓝色的三角形在折分??支曲线与Ｈｏｐｆ分支曲线的相交处，代表折－Ｈｏｐｆ分支点（ｆｃ４?＝?０．８７５００１，知＝０．８７４９９９），??在这个平衡点其特征值为Ａ〇?＝?０

但不改变平衡点的稳定性．图７是极限环图．（ａ）亚临界Ｈｏｐｆ分支产生的不稳定??极限环，（ｂ）超临界Ｈｏｐｆ分支产生的稳定极限环．当／ｃ８?＝?０．９２７３３８１时，系统（３．２）出现??极限环的折分支（图８．?ａ）．这是由于Ｈｏｐｆ分支点历产生的稳定极限环与Ｈｏｐｆ分支点??、／／２产生的不稳定极限环相碰产生的．在图８．?ｂ中，我们可以更直观的看到这一过程．??在图９中，我们选取黑色的线代表折分支曲线，蓝色的线代表Ｈｏｐｆ分支曲线．白色??的圆代表Ｂｏｇｄａｎｏｖ－Ｔａｋｅｎｓ分支点，蓝色的三角形代表折－Ｈｏｐｆ分支点，白色的三角形代??表退化的Ｈｏｐｆ分支点：（ａ）是／ｃ７?＝?１．７５以心，知为自由参数时的分支曲线图，蓝色的??三角形是折－Ｈｏｐｆ分支点，白色的三角形代表退化的Ｈｏｐｆ分支点．蓝色的三角形在折分??支曲线与Ｈｏｐｆ分支曲线的相交处，代表折－Ｈｏｐｆ分支点（ｆｃ４?＝?０．８７５００１，知＝０．８７４９９９），??在这个平衡点其特征值为Ａ〇?＝?０，?Ａ２，３?＝?士１．７３２；．通过软件Ａｕｔｏ模拟，我们发现一条??蓝色线上的平衡点的第一李雅普诺夫系数小于零
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本文编号：2879274