几类时滞微分方程的谱方法

发布时间：2020-11-12 09:50

　　 时滞微分方程多应用于化学、生物学、电路系统、机械控制等领域的建模中,通常这类问题在理论求解上十分困难,这制约了理论研究的发展,也给实际问题的处理带来了不便.在这种情况下,鉴于数值解既能帮助揭示理论性质,又能直接应用到实际问题,因此,无论从理论研究上考虑,还是站在实际应用的角度出发,时滞微分方程的数值解都是值得研究的内容.众所周知,在计算时滞微分方程时需要存储多个时间层的数值解,高精度算法可降低存储量,但同时也增大了计算量.所以,在计算量没有显著增加的前提下构造高精度算法是很有必要的工作.本文重点介绍了几类时滞微分方程谱方法的构造以及相应的理论分析. 在第二章,基于Legendre-Gauss-Radau插值和区域分解的思想,对带有分段常时滞的中立型微分方程构造了一类多域谱配置法.通过收敛性分析证明了该算法具有高精度,用两个数值算例验证了理论结果,并与部分现有算法在计算效率上进行了比较. 在第三章,针对二维非线性时滞对流-扩散-反应问题,先通过指数变换将其转化为等价的非线性时滞反应-扩散问题,再结合Crank-Nicholson格式与具有稀疏结构的Legendre谱Galerkin方法进行求解.从理论上分别对理论解和数值解的稳定性进行了分析,并给出了L2-范数意义下的收敛性结果,之后用两个数值算例检验了算法的高精度与高效性. 在第四章,给出了非线性非Fickian型时滞反应-扩散问题的半离散有限元解,借助带记忆项的椭圆投影算子对半离散解进行了误差估计,然后分别通过一维和二维的数值算例来验证了有限元解的收敛阶. 在第五章,Fourier谱方法被应用于求解Swift-Hohenberg方程.一种适用于谱方法的二阶隐显式时间离散格式被构造.这类新的算法被证明是保能量稳定且数值收敛的.最后,借助于两个数值算例对算法的能量稳定性和收敛阶进行了验证. 在第六章,对本文的主要工作进行了一个简要的总结,并对未来的研究内容做了简短的展望.
【学位单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O175
【文章目录】：
摘要
Abstract
目录
1 绪论
    1.1 研究背景
    1.2 研究现状
    1.3 本文研究内容
2 中立型微分方程的多域谱配置法
    2.1 引言
    2.2 多域谱配置法的构造
    2.3 收敛性分析
    2.4 数值实验
3 非线性时滞对流-扩散-反应方程的谱Galerkin法
    3.1 引言
    3.2 谱Galerkin法的构造
    3.3 数值稳定性
    3.4 收敛性
    3.5 数值实验
4 非线性非Fickian型时滞反应扩散方程的有限元解
    4.1 引言
    4.2 有限元方法
    4.3 收敛性分析
    4.4 数值实验
5 一类相场模型的保能量稳定谱方法
    5.1 引言
    5.2 能量稳定的谱方法构造
    5.3 能量稳定性分析
    5.4 收敛性分析
    5.5 数值实验
6 总结与展望
致谢
参考文献
附录1 攻读学位期间已发表和完成的学术论文目录
附录2 科研项目

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本文编号：2880599