无网格广义有限差分法在Helmholtz正反问题中的应用

发布时间：2020-11-20 00:52

　　 无网格法是一类求解偏微分方程初边值问题的新型数值计算方法。不同于传统有限元、有限差分和边界元等基于网格的数值计算方法,无网格法通过节点信息构造插值基函数,很大程度上克服了传统方法对网格的依赖性。在涉及大变形、高维复杂域、裂纹动态扩展和移动边界等问题中显示出了明显的优越性。广义有限差分法是近年来刚刚兴起的一种新型无网格方法。该方法基于多元函数泰勒级数展开和加权最小二乘拟合,将控制方程中未知参量的各阶偏导数表示为相邻节点函数值的线性组合,克服了传统有限元等基于网格的方法对网格的依赖性。该方法生成的系数矩阵是稀疏阵,很容易通过各种稀疏矩阵求解器快速求解。目前,该方法在国内外发展迅速,广泛应用于求解各种科学和工程问题。本文探讨了广义有限差分法在声学问题中的应用,并首次将其应用于求解Helmholtz反问题。首先,假设求解域的所有边界条件都可测,在此基础上对此二维和三维Helmholtz正问题进行了精确求解,并分析了算法的稳定性与收敛性。在Helmholtz反问题中,本文假设求解域的部分边界条件不可测(Cauchy反问题),通过在剩余边界上引入额外的边界条件,采用广义有限差分法对不可测边界上的物理参量进行了预测和模拟。数值算例表明,广义有限差分法在模拟反问题时可以最大限度地避免系数矩阵的病态特性,即使边界条件引入较大的扰动误差,依然可以得到精确稳定的数值结果。
【学位单位】：青岛大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.82
【部分图文】：

青岛大学硕士学位论文第二章 广义有限差分法的数学基础义有限差分法基本思想一章简单介绍了广义有限差分法的实现过程，下面我们将算法进行详般性，考虑下面的二阶偏微分方程问题： 2 2 21 2 3 4 52 2, ,, , , ,u u u u ua a a a a b x y x yx y x y x yu x y f x y x y ，用泰勒级数展开式和加权最小二乘法，可以将未知变量的导数表示为数值的线性组合。

图 3.1 二维热传导问题计算域示意图例：稳态方形域ltz 方程[32-33]正问题为例进行研究等问题，通常可以利用 Helmhol其中预设了波函数（它的物理内弦或正弦函数。Helmholtz 正问题条件以及混合边界条件。下面考 ，0 x, y 1，边界为 = ，复选点，计算域四个角的 4 个点，总点数 n 1596。如图 3.2 所示

17图 3.2 Helmholtz 问题方形域均匀布点示意图下面我们利用两种数据扰动来模拟真实问题，以验证广义有限差分法求解与稳定性。第一种模拟：为了模拟真实问题的内部数据，仍以140dn 的步长均分边界内部点数量不变的前提下，随机散布点阵，如图 3.3 所示。第二种模拟：在实际工程问题中，边界条件的获取总会伴随一定的误差，因加入了一定的数据扰动来模拟真实问题的误差，使边界条件满足：u x , y exp x y 1 a rand , x ,y a 0,1%,2%,3%为扰动参数， rand -1,1为 MATLAB 产生的随机误差参数
【参考文献】

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1 姜欣荣;陈文;;基本解方法与边界节点法求解Helmholtz方程的比较研究[J];计算力学学报;2011年03期

2 邓绍更,闻建龙,王军锋,张文涛,罗惕乾;流体力学反问题的类型及其应用[J];排灌机械;2001年04期

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本文编号：2890686