分裂步龙格库塔方法的均方稳定性研究

发布时间：2020-11-23 07:19

　　 近年来,基于分裂步思想求解随机微分方程的龙格库塔方法一直都倍受人们的广泛关注。事实上,龙格库塔方法是一种非常重要的求解微分方程的数值方法,而且几类常见的隐式龙格库塔方法在求解微分方程时具有非常好的稳定性。因此,研究运用龙格库塔方法求解随机微分方程的稳定性受到了越来越多学者的青睐。注意到,为了提高龙格库塔方法在求解随机微分方程的稳定性或稳定区域,各种各样的差分格式层出不穷,但是却并没有一种系统的方法去判断一种随机的龙格库塔方法的稳定性。于是,如何简化判断随机龙格库塔方法的稳定性是一项值得深入研究的课题。本文主要研究一类具有普遍性的分裂步龙格库塔方法,同时给出其在求解随机微分方程时达到均方稳定时的充分条件。值得注意的是,本文给出了一种运用龙格库塔方法稳定函数直接判断随机龙格库塔方法稳定性的结论。文章具体研究内容如下:首先研究了分裂步龙格库塔方法求解线性随机微分方程的均方稳定性,并给出该方法为均方稳定的充分条件。同时,基于上述充分条件,判断了几类常见的龙格库塔方法在求解随机微分方程时的均方稳定性,给出了相应的证明。数值算例验证了理论结果的有效性。其次,考虑到分裂步龙格库特方法的稳定性有待提高,本文提出了改进的分裂步龙格库塔方法。给出改进后分裂步龙格库塔方法的具体表现形式,并在此基础上得到了该方法为均方稳定的充分条件。同样的,基于上述充分条件,判断了几类常见的龙格库塔方法在求解随机微分方程时的均方稳定性,并给出了相应的证明。数值算例验证了理论结果的有效性。最后,由非线性随机微分方程应用的广泛性与一般性,在改进的分裂步龙格库塔方法的基础上,加入了对非线性随机微分方程的均方稳定性的讨论。通过分析证明同样可以得到改进均方稳定性的充分条件。数值算例验证了理论结果的有效性。
【学位单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.82
【部分图文】：

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15图 2-2 h 0.1时 Lobatta IIIC 方法的均方稳定函数从上面的图片可以看出，当步长 h 0.1时，由分裂步 Lobatto IIIC 方法解是稳定的。从而我们可以粗略认为，在步长h取值较小或满足一定时两种方法求解方程（1-6）得到的数值解是均方稳定的。下面我们讨论当较大的情况。固定参数0 = 2, 2, y 1, N 10

)图 2-3 h 10时 Gauss 方法的均方稳定函数然，从上图可以看出，当步长 h 10时，由分裂步 Gauss 方法得到的是稳定的。T图 2-4 h 10时 Lobatta IIIC 方法的均方稳定函数上图可以看出，当步长 h 10时，由分裂步 Lobatto IIIC 方法得到的
【参考文献】

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1 杨纪华;刘媚;;随机比例微分方程θ-方法的T-稳定性(英文)[J];数学杂志;2013年01期

2 ;Three-stage Stiffly Accurate Runge-Kutta Methods for Stiff Stochastic Differential Equations[J];Communications in Mathematical Research;2011年02期

相关博士学位论文 前1条

1 王小捷;随机微分方程数值算法研究[D];中南大学;2012年

本文编号：2894652