用雅克比谱配置方法求解分数阶最优控制问题及收敛性分析

发布时间：2020-12-09 17:18

　　本文针对分数阶最优控制问题,提出Jacobi谱配置方法。首先根据Hamiltoni-an 量将最优控制问题对应的极小泛函进行改进,得到分数阶最优控制问题的必要条件,结合Caputo和Riemann-Liouville导数的定义,推导出等价于原问题的方程组;再利用Jacobi谱配置法,求出非线性系统方程组的解,并通过理论分析,得到相应的收敛性结论。最后,通过数值实验验证理论的正确性和方法的有效性。 

【文章来源】：湘潭大学湖南省

【文章页数】：42 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

图３．１：?２⑴的真解和不同ａ的数值解（左）；吣）的真解和不同《的数值解（右）

?ｔ（２＜?Ｎ＜?２０）??图３．２：?ａ；⑷（左）和Ａ⑷（右）的｜丨．｜｜Ｌ＝〇和｜｜?．?｜｜纪误差比较。??的。图３．２给出了解在｜｜?．?｜Ｕ〇〇和｜｜?．?意义下的误差，证实了我们的理论预测是??可靠的。??例３．４．２我们考虑一个单输入标量系统，如下??１?Ｚ＊１??Ｍｉｎ?Ｊ?＝?＾?（ｘ２（ｔ）＋ｕ２（ｔ））ｄｔ，??ｚ?Ｊｏ?（〇．〇７）??〇Ｄ＾ｘ（ｔ．）?＝ｕ（ｔ），??自由终端条件和初始条件为??ｘ（０）?＝?１０．??上述对■于ａ?＝?１问题的解析解是??ｘ（ｔ）?＝?０．１００６１２６８４２６＾?＋?９．８９９３８７３１２ｅ－＾，??ｕ⑷＝０．１００６１２６８４２（＼／＾＋?－９．８９９３８７３１２（力一ｌ）ｅ＿ｖ＾＿??根据（３．８）我们有??ｔＤ＾＼｛ｔ）?＝ｘ（ｔ），??〇Ｄ＾ｘ（ｔ）?＝?－Ａ（ｔ），??ｘ（０）?＝?１０，?Ａ（ｌ）?＝?０．??其中藍二〇

?ｔ??图３．３：?：ｒ⑷的真解和不同ａ的数值解（左）；吨）的真解和不同ａ的数值解（右）。??图３．３中分别给出了真解（ａ?＝?１），及数值解（ａ?＝?０．９９９９，?〇；＝?０．９，?ａ?＝?０．８，??ａ?＝?０．７）的状态变量；ｒ⑷和控制变量ｗ⑴的图像，可以看出Ｊａｃｏｂｉ谱配置法??在ａ?＝?０．９９９９的数值解和真解ａ?＝?１几乎重合，说明了我们的求解方法是有效的。??例３．４．３我们考虑一个时间变化的线性系统，如下??１?ｒ１?〇??Ｍｉｎ?Ｊ?＝?－?（ｘ２⑷?＋?ｉｘ２⑷）成??２?Ｊ〇?（３．６８）??〇Ｄ＾ｘ（ｔ）?＝?ｔｘ（ｔ）?＋?ｕ（ｔ），??自由终端条件和初始条件为??ｘ（０）?＝?１．??根据（３．８）我们有??ｔＤ＾＼｛ｔ）?＝?ｘ（ｔ）?＋?ｔ＼｛ｔ），??〇Ｄｆｘ（ｔ）?＝?ｔｘ（ｔ）?－Ｘ（ｔ），??ｘ（０）?＝?１，?Ａ（ｌ）?＝?０？??其中ｆ?＝?〇??ｍ⑴＝—Ａ⑷．??图３．４中给出了?〇不同时的状态变量ｒｃ⑷和控制变量ｕ（ｔ）的变化趋势


本文编号：2907205