几类随机偏微分方程的数值方法
发布时间：2020-12-14 10:49
本文主要针对随机系数Brinkman问题、随机交界面Helmholtz问题以及随机交界面Maxwell问题这三类随机偏微分方程（SPDE）进行数值研究.对于不同问题自身特点设计相应的算法,从理论上证明其收敛性,并给出相应的数值实验.本文主要分为以下五个部分:第一章,我们简要的回顾有限元的发展,弱伽辽金（weak Galerkin,WG）有限元和Nedelec元的历史.然后分别对随机系数Brinkman问题、随机交界面Helmholtz问题以及随机交界面Maxwell问题的研究现状进行简要总结.在这章的最后,简要介绍了本文的主要结构.在第二章中,我们主要对随机系数Brinkman问题进行研究.多孔介质的Brinkman模型是Stokes方程或Navier-Stokes方程在较小Reynolds数情况下的简化形式.设具有大渗透率和小渗透率的区域分别对应Darcy流和Stokes流.Brinkman方程结合了 Darcy方程和Stokes方程的各自特征,这使得其在具有高度非均质介质流动的实际应用中,是一种非常有效的模型.因此,对Brinkman方程模拟精度要求高是具有实际意义的.但是,设计一...
【文章来源】：吉林大学吉林省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：102 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图１．２衍射光栅．??
衍射光丨彳‘光??图１．２衍射光栅．??们可以被用作偏振器和位相补偿器等．光栅的相位匹配性质是指光栅具有的将两个??传播常数不同的波耦合起來的本领．最明显的例子，就是光栅波导耦合器．它能将一??束在自由空间传播的光束耦合到光波导中．??事实上．随着各种高精度加工技术的出现（例如直接写入电子束光刻．反应离子??刻蚀，Ｘ射线光刻，ＬＩＧＡ工艺以及单点金刚石加工等），使得制作出具有高反射率的??衍射光栅以及其他有特殊用途的复杂衍射光栅为可能．然而在衍射光栅的实际应??用中，很多时候我们需要知道光通过衍射光栅之后在某个区域内的电磁场信息，即??区域内各点的电场强度和磁场强度．对于那些复杂衍射光栅我们很难通过理论的方??法求出相关信息．这时候就需要借助数值计算方法和高性能计算机柬满足实际应用??的需要．??在Ｗｏｏｄ第一次发现光栅衍射的光变为有序能量的之后［９１］，人们建立了许多??数学模型來描述这种现象，例如变分法［６３］，改良匹配法［５３］．积分法［９２］，微分法??［７５，?７６］等．这些方法中，在衍射光栅区域内通过Ｍａｘｗｅｌｌ方程描述是当今一种有效??且流行的工具．一维周期材料衍射的时间调和Ｍａｘｗｅｌｌ方程可以通过计算，简化为??具有相关边界条件的二维Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程．从数学的观点来看
图２．１例２．１中，当ａ?＝?１０４时．ｋ－１的）Ｌ?（ｓｉｎ（２７ｒａ；ｉ）?ｃｏｓ（２７ｒａ＇２），?—?ｃｏｓ（２７ｒｘｉ）?ｓｉｎ（２７ｒａ＇２））／?和?ｐ?＝计算出ｆ和ｇ．容易验ｉ正，满足条件▽．?ｕ二０
【参考文献】：
期刊论文
[1]FINITE ELEMENT AND DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD FOR STOCHASTIC HELMHOLTZ EQUATION IN TWO-AND THREE-DIMENSIONS[J]. Yanzhao Cao Department of Mathematics,Florida A&M University,Tallahassee,FL32307,USA Ran Zhang Kai Zhang Department of Mathematics,Jilin University,Changchun 130023,China. Journal of Computational Mathematics. 2008(05)
[2]三维椭圆型方程S-COR算法的收敛性估计[J]. 黄建国,吴菊. 上海交通大学学报. 2002(10)
[3]基于非协调元的区域分解法──强重迭情形[J]. 黄建国. 计算数学. 1995(01)
[4]求解抛物型方程的混合元法及其拟最优最大模估计[J]. 黄建国. 计算数学. 1994(01)
[5]解椭圆型问题的无限元方法[J]. 应隆安. 中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学). 1991(09)
[6]多变量拟协调平面四边元[J]. 唐立民,陈万吉,周建清. 计算结构力学及其应用. 1988(01)
[7]多变量拟协调元法解流函数形式的两维Navier-Stokes方程[J]. 唐立民,刘迎曦. 大连工学院学报. 1987(01)
[8]混合刚度有限元法——直接表述和数学基础[J]. 周天孝. 中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学). 1985(04)
[9]有限元方法的超收敛性[J]. 陈传淼. 数学进展. 1985(01)
[10]Mercier混合有限元模型改进[J]. 周天孝. 计算数学. 1982(03)
本文编号：2916294
【文章来源】：吉林大学吉林省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：102 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图１．２衍射光栅．??
衍射光丨彳‘光??图１．２衍射光栅．??们可以被用作偏振器和位相补偿器等．光栅的相位匹配性质是指光栅具有的将两个??传播常数不同的波耦合起來的本领．最明显的例子，就是光栅波导耦合器．它能将一??束在自由空间传播的光束耦合到光波导中．??事实上．随着各种高精度加工技术的出现（例如直接写入电子束光刻．反应离子??刻蚀，Ｘ射线光刻，ＬＩＧＡ工艺以及单点金刚石加工等），使得制作出具有高反射率的??衍射光栅以及其他有特殊用途的复杂衍射光栅为可能．然而在衍射光栅的实际应??用中，很多时候我们需要知道光通过衍射光栅之后在某个区域内的电磁场信息，即??区域内各点的电场强度和磁场强度．对于那些复杂衍射光栅我们很难通过理论的方??法求出相关信息．这时候就需要借助数值计算方法和高性能计算机柬满足实际应用??的需要．??在Ｗｏｏｄ第一次发现光栅衍射的光变为有序能量的之后［９１］，人们建立了许多??数学模型來描述这种现象，例如变分法［６３］，改良匹配法［５３］．积分法［９２］，微分法??［７５，?７６］等．这些方法中，在衍射光栅区域内通过Ｍａｘｗｅｌｌ方程描述是当今一种有效??且流行的工具．一维周期材料衍射的时间调和Ｍａｘｗｅｌｌ方程可以通过计算，简化为??具有相关边界条件的二维Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程．从数学的观点来看
图２．１例２．１中，当ａ?＝?１０４时．ｋ－１的）Ｌ?（ｓｉｎ（２７ｒａ；ｉ）?ｃｏｓ（２７ｒａ＇２），?—?ｃｏｓ（２７ｒｘｉ）?ｓｉｎ（２７ｒａ＇２））／?和?ｐ?＝计算出ｆ和ｇ．容易验ｉ正，满足条件▽．?ｕ二０
【参考文献】：
期刊论文
[1]FINITE ELEMENT AND DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD FOR STOCHASTIC HELMHOLTZ EQUATION IN TWO-AND THREE-DIMENSIONS[J]. Yanzhao Cao Department of Mathematics,Florida A&M University,Tallahassee,FL32307,USA Ran Zhang Kai Zhang Department of Mathematics,Jilin University,Changchun 130023,China. Journal of Computational Mathematics. 2008(05)
[2]三维椭圆型方程S-COR算法的收敛性估计[J]. 黄建国,吴菊. 上海交通大学学报. 2002(10)
[3]基于非协调元的区域分解法──强重迭情形[J]. 黄建国. 计算数学. 1995(01)
[4]求解抛物型方程的混合元法及其拟最优最大模估计[J]. 黄建国. 计算数学. 1994(01)
[5]解椭圆型问题的无限元方法[J]. 应隆安. 中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学). 1991(09)
[6]多变量拟协调平面四边元[J]. 唐立民,陈万吉,周建清. 计算结构力学及其应用. 1988(01)
[7]多变量拟协调元法解流函数形式的两维Navier-Stokes方程[J]. 唐立民,刘迎曦. 大连工学院学报. 1987(01)
[8]混合刚度有限元法——直接表述和数学基础[J]. 周天孝. 中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学). 1985(04)
[9]有限元方法的超收敛性[J]. 陈传淼. 数学进展. 1985(01)
[10]Mercier混合有限元模型改进[J]. 周天孝. 计算数学. 1982(03)
本文编号：2916294
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