分数阶偏微分方程的数值解—分析和算法
发布时间：2020-12-31 03:59
分数阶偏微分方程是一种描述反常扩散现象的行之有效的方法.基于不同的应用背景,学者们提出了不同形式的分数阶导数模型.由于通常情况下分数阶问题不存在可用的解析解,数值方法在这些模型的实际检验和应用中起着举足轻重的作用.不同于整数阶导数,分数阶导数具有（弱）奇异性、非局部性,有时甚至还涉及时空耦合性,这给数值方法的设计、分析和实施带来了不少困难和挑战.因此,虽然分数阶偏微分方程的数值解近几十年来受到科研人员的大量关注,也取得了不少进展,但它仍然是一个充满活力的学科,还有不少问题亟待解决.我们将探讨一些具体模型的数值解决方案.本文有下述章节构成:第一章,概述论文的研究背景和主要内容,包括反常扩散的概念、几种重要的分数阶导数模型、分数阶偏微分方程数值解的研究现状,以及本文的研究内容和创新之处等.第二章,探讨回火分数阶Laplace方程的Riesz基Galerkin方案.回火分数阶Laplace算子是以积分形式给出的导数,是分数阶Laplace算子的推广.在统计上它表示对称的回火-稳定L′evy过程的生成子,在求解粒子的首次退出时间和逃逸概率方面有着重要的应用.本章将做三个方面的工作,即齐次边界条...
【文章来源】：兰州大学甘肃省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：156 页
【学位级别】：博士
【文章目录】：
中文摘要
Abstract
第一章 绪论
1.1 反常扩散
1.2 几类分数阶导数模型
1.2.1 典范分数阶偏微分方程
1.2.2 回火分数阶偏微分方程
1.2.3 回火分数阶Feynman-Kac方程
1.3 分数阶偏微分方程数值解的研究现状
1.4 论文研究内容和创新之处
1.5 论文结构安排
第二章 回火分数阶Laplace方程的Riesz基Galerkin方案
2.1 准备知识
2.1.1 分数阶Soboley空间
2.1.2 回火分数阶Laplace算子的一些性质
2.2 齐次边值问题的弱解和适定性
2.2.1 弱解的定义
2.2.2 弱解的存在唯一性
2.3 弱解的有限维逼近和收敛性分析
2.3.1 单尺度B-样条基函数和多尺度Reisz基函数
2.3.2 收敛性分析
2.4 微分矩阵的生成及预处理
2.4.1 刚度矩阵的计算
2.4.2 条件数和预处理
2.5 带有非齐次狄里克莱边界条件的问题的弱解
2.6 数值结果
2.7 本章小结
2.8 附录:PCG迭代和快速矩阵向量乘积
第三章 回火分数阶Laplace方程的有限差分方案
3.1 α ∈（0,1）时的有限差分方案
3.1.1 差分方案的推导
3.1.2 误差估计
3.2 算法实施细节
3.2.1 刚度矩阵的结构和特征值分布
3.2.2 两种有效的预处理子
3.3 α ∈[1,2)时的有限差分方案
3.4 数值结果
3.5 本章小结
3.6 附录:Gauss-Jacobi积分和不完全Cholesky分解
第四章 含积分-微分型回火分数阶导数的偏微分方程的有限元方案
4.1 预备知识
4.1.1 回火分数阶微积分的定义
4.1.2 回火分数阶微积分的基本性质及一些不等关系
4.2 回火分数阶微分算子的变分性质
4.3 回火分数阶模型的Galerkin和Petrov-Galerkin逼近
4.3.1 Galerkin逼近
4.3.2 Petrov-Galerkin逼近
4.3.3 误差估计及算法实施
4.4 数值结果
4.5 本章小结
4.6 附录:Levy过程与空间回火分数阶偏微分方程
第五章 时间分数阶扩散方程的轮廓积分和有理逼近方案
5.1 空间有限元半离散格式的稳定性和收敛性
5.1.1 半离散格式的稳定性
5.1.2 半离散格式的收敛性
5.2 分数阶时间微分方程的数值积分逼近
z的最优Chebyshev有理逼近的数值积分方法"> 5.2.1 基于ez的最优Chebyshev有理逼近的数值积分方法
5.2.2 基于逆Laplace变换和抛物线轮廓的数值积分方法
5.2.3 基于Dunford-Taylor积分表达式和圆周轮廓的数值积分方法
5.3 数值结果
5.4 本章小结
5.5 附录:CTWR模型与分数阶偏微分方程
第六章 回火时间分数阶Feynman-Kac方程的有限差分和有限元方案
6.1 模型的等价形式及物质导数的离散
6.1.1 导出方程（6.1）的等价形式
6.1.2 回火分数阶物质导数的离散
6.2 空间有限差分逼近方案
6.2.1 导出有限差分方案
6.2.2 全离散格式的稳定性和收敛性
6.3 空间有限元逼近方案
6.3.1 导出有限元逼近方案
6.3.2 全离散格式的稳定性和收敛性
6.4 数值结果
6.5 本章小结
6.6 附录:结论（6.19）的证明
第七章 总结与展望
7.1 总结
7.2 展望及未来工作
参考文献
在学期间的研究成果
致谢
本文编号：2948918
【文章来源】：兰州大学甘肃省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：156 页
【学位级别】：博士
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中文摘要
Abstract
第一章 绪论
1.1 反常扩散
1.2 几类分数阶导数模型
1.2.1 典范分数阶偏微分方程
1.2.2 回火分数阶偏微分方程
1.2.3 回火分数阶Feynman-Kac方程
1.3 分数阶偏微分方程数值解的研究现状
1.4 论文研究内容和创新之处
1.5 论文结构安排
第二章 回火分数阶Laplace方程的Riesz基Galerkin方案
2.1 准备知识
2.1.1 分数阶Soboley空间
2.1.2 回火分数阶Laplace算子的一些性质
2.2 齐次边值问题的弱解和适定性
2.2.1 弱解的定义
2.2.2 弱解的存在唯一性
2.3 弱解的有限维逼近和收敛性分析
2.3.1 单尺度B-样条基函数和多尺度Reisz基函数
2.3.2 收敛性分析
2.4 微分矩阵的生成及预处理
2.4.1 刚度矩阵的计算
2.4.2 条件数和预处理
2.5 带有非齐次狄里克莱边界条件的问题的弱解
2.6 数值结果
2.7 本章小结
2.8 附录:PCG迭代和快速矩阵向量乘积
第三章 回火分数阶Laplace方程的有限差分方案
3.1 α ∈（0,1）时的有限差分方案
3.1.1 差分方案的推导
3.1.2 误差估计
3.2 算法实施细节
3.2.1 刚度矩阵的结构和特征值分布
3.2.2 两种有效的预处理子
3.3 α ∈[1,2)时的有限差分方案
3.4 数值结果
3.5 本章小结
3.6 附录:Gauss-Jacobi积分和不完全Cholesky分解
第四章 含积分-微分型回火分数阶导数的偏微分方程的有限元方案
4.1 预备知识
4.1.1 回火分数阶微积分的定义
4.1.2 回火分数阶微积分的基本性质及一些不等关系
4.2 回火分数阶微分算子的变分性质
4.3 回火分数阶模型的Galerkin和Petrov-Galerkin逼近
4.3.1 Galerkin逼近
4.3.2 Petrov-Galerkin逼近
4.3.3 误差估计及算法实施
4.4 数值结果
4.5 本章小结
4.6 附录:Levy过程与空间回火分数阶偏微分方程
第五章 时间分数阶扩散方程的轮廓积分和有理逼近方案
5.1 空间有限元半离散格式的稳定性和收敛性
5.1.1 半离散格式的稳定性
5.1.2 半离散格式的收敛性
5.2 分数阶时间微分方程的数值积分逼近
z的最优Chebyshev有理逼近的数值积分方法"> 5.2.1 基于ez的最优Chebyshev有理逼近的数值积分方法
5.2.2 基于逆Laplace变换和抛物线轮廓的数值积分方法
5.2.3 基于Dunford-Taylor积分表达式和圆周轮廓的数值积分方法
5.3 数值结果
5.4 本章小结
5.5 附录:CTWR模型与分数阶偏微分方程
第六章 回火时间分数阶Feynman-Kac方程的有限差分和有限元方案
6.1 模型的等价形式及物质导数的离散
6.1.1 导出方程（6.1）的等价形式
6.1.2 回火分数阶物质导数的离散
6.2 空间有限差分逼近方案
6.2.1 导出有限差分方案
6.2.2 全离散格式的稳定性和收敛性
6.3 空间有限元逼近方案
6.3.1 导出有限元逼近方案
6.3.2 全离散格式的稳定性和收敛性
6.4 数值结果
6.5 本章小结
6.6 附录:结论（6.19）的证明
第七章 总结与展望
7.1 总结
7.2 展望及未来工作
参考文献
在学期间的研究成果
致谢
本文编号：2948918
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